सरल यादृच्छिक नमूनाकरण (परिभाषा, उदाहरण) - सूत्र, गणना

सरल यादृच्छिक नमूनाकरण क्या है?

सरल यादृच्छिक नमूनाकरण एक ऐसी प्रक्रिया है, जिसमें जनसंख्या के प्रत्येक लेख या वस्तु को चयनित होने का एक समान मौका मिलता है और इस मॉडल का उपयोग करके कुछ विशेष वस्तुओं के प्रति पूर्वाग्रह होने की संभावना कम होती है। इस विधि में नमूने के दो तरीके हैं ए) प्रतिस्थापन के साथ और बी) प्रतिस्थापन के बिना।

# 1 - रिप्लेसमेंट के साथ रैंडम सैंपलिंग

प्रतिस्थापन के साथ नमूने में, एक लेख एक बार चयनित हो जाता है, फिर इसे अगले ड्रॉ से पहले आबादी में बदल दिया जाएगा। इस तरह, एक ही वस्तु को प्रत्येक ड्रॉ में चयनित होने का समान मौका मिलेगा।

"प्रतिस्थापन के साथ संभावित नमूने" का सूत्र।

वस्तुओं के कई अलग-अलग संयोजन हैं जो उनमें से एक आबादी से एक नमूना ड्राइंग करते समय चुना जा सकता है।

संभव नमूनों की संख्या (प्रतिस्थापन के साथ) = (कुल इकाइयों) ^{(चयनित इकाइयों की संख्या)} संभव नमूनों की संख्या (प्रतिस्थापन के साथ) = एन ^एन

कहा पे,

• एन = कुल जनसंख्या की संख्या
• n = चुने जाने वाली इकाइयों की संख्या

उदाहरण के लिए, मान लें कि कुल 9 खिलाड़ी हैं, जिनमें से 3 को एक खेल टीम में लिया जाना है, और चयनकर्ताओं ने प्रतिस्थापन द्वारा नमूना विधि का उपयोग करने का निर्णय लिया।

उस स्थिति में, कई संयोजन हैं जिनमें खिलाड़ियों का चयन किया जा सकता है, अर्थात,

एन ^एन = ९ ^३ = .२ ९

दूसरे शब्दों में, तीन खिलाड़ियों के 729 अलग-अलग संयोजन हैं जिन्हें चुना जा सकता है।

# 2 - रिप्लेसमेंट के बिना रैंडम सैंपलिंग

प्रतिस्थापन के बिना नमूने में, एक लेख एक बार चयनित हो जाता है, फिर इसे आबादी में नहीं बदला जाएगा। इस तरह, किसी विशेष वस्तु को केवल एक बार चयनित होने का मौका मिलेगा।

"प्रतिस्थापन के बिना संभावित नमूने" का सूत्र।

आमतौर पर उपयोग किए जाने वाले नमूने में, विषयों को आम तौर पर एक बार से अधिक नमूना में शामिल नहीं किया जाता है, अर्थात, प्रतिस्थापन के बिना।

नमूनों की संख्या (प्रतिस्थापन के बिना)

संभव नमूनों की संख्या (प्रतिस्थापन के बिना) =

कहा पे,

• एन = आबादी में लोगों की संख्या
• n = किसी व्यक्ति के नमूने की संख्या
• ! = यह तथ्यात्मक अंकन है

चलो एक ही उदाहरण लेते हैं, लेकिन इस बार प्रतिस्थापन के बिना।

उस स्थिति में, संयोजन की संख्या जिसमें खिलाड़ियों का चयन किया जा सकता है, अर्थात,

• = 9! / 3! * (9.3)!
• = ९! / ३! * ६!
• = 9.8.7.6! / 3! 6!
• = 9.8.7 / 3!
• = 84

सरल शब्दों में, प्रतिस्थापन के बिना नमूने के मामले में 3 खिलाड़ियों के संयोजन का चयन करने के 84 तरीके हैं।

हम 'प्रतिस्थापन के साथ' और 'प्रतिस्थापन के बिना' के मामले में जनसंख्या के नमूने के आकार में स्पष्ट अंतर देख सकते हैं।

सामान्य तौर पर, दो तरीकों का उपयोग लंबे समय तक यादृच्छिक नमूनाकरण करने के लिए किया गया है। वे दोनों इस प्रकार हैं:

• लॉटरी विधि
• यादृच्छिक संख्या तालिका

लॉटरी विधि - यह सरल यादृच्छिक नमूनाकरण की सबसे पुरानी विधि है; इस विधि में, जनसंख्या में प्रत्येक वस्तु को एक संख्या निर्दिष्ट करनी होती है और उसे व्यवस्थित रूप से बनाए रखना होता है। कागज पर उस संख्या को लिखें और इन कागजों को एक बॉक्स में मिलाएं, फिर संख्याओं को यादृच्छिक आधार पर बॉक्स से बाहर चुना जाता है; प्रत्येक नंबर को चयनित होने का मौका मिलेगा।

रैंडम नंबर्स टेबल - इस सैंपलिंग विधि में, जनसंख्या को एक संख्या देनी होती है और उसे सारणीबद्ध रूप में प्रस्तुत करना होता है; सैंपलिंग के समय, प्रत्येक नंबर को टेबल से बाहर चुने जाने का मौका मिलता है। अब यादृच्छिक संख्या तालिका के लिए एक दिन के सॉफ़्टवेयर का उपयोग किया जाता है।

सरल यादृच्छिक नमूना फॉर्मूला के उदाहरण (एक्सेल टेम्पलेट के साथ)

आइए आगे के उदाहरणों को लेते हुए सरल यादृच्छिक नमूना फार्मूला को समझें।

उदाहरण 1

यदि कोई सिनेमा हॉल अपने नियमित ग्राहकों को 100 मुफ्त टिकट वितरित करना चाहता है, तो सिनेमा हॉल में उसके सिस्टम में 1000 नियमित ग्राहकों की एक सूची है। अब सिनेमा हॉल अपने सिस्टम से यादृच्छिक रूप से 100 ग्राहकों को चुन सकता है और उन्हें टिकट भेज सकता है।

उपाय:

सरल यादृच्छिक नमूने की गणना के लिए दिए गए डेटा का उपयोग करें।

संभाव्यता की गणना (P) निम्नानुसार की जा सकती है:

संभाव्यता = जनसंख्या के चयनित नमूना / कुल संख्या में नहीं

• = 1000/100

संभाव्यता (P) होगी -

• = 10%

उदाहरण # 2

एबीसी लिमिटेड एक विनिर्माण कंपनी है जो बल्बों के विनिर्माण में लगी हुई है। यह एक दिन में 10 बल्ब बनाती है। इसमें गुणवत्ता निरीक्षण टीम शामिल है, जिसे बल्बों के औचक निरीक्षण का जिम्मा सौंपा गया है और कंपनी के समग्र व्यवहार्यता को मापने के लिए गुड बल्ब का निर्माण किया जाता है। उन्होंने एक यादृच्छिक आधार पर बल्बों का निरीक्षण करने का फैसला किया, और उन्होंने 3 बल्बों का एक नमूना लेने का फैसला किया, और यह प्रदान किया गया कि उस विशेष दिन में 2 दोषपूर्ण बल्ब और 8 अच्छे बल्ब थे। नमूने के दोनों मामलों में परिणामों की तुलना करें - प्रतिस्थापन के साथ और प्रतिस्थापन के बिना।

उपाय

सरल यादृच्छिक नमूने की गणना के लिए दिए गए डेटा का उपयोग करें।

प्रतिस्थापन के साथ नमूने के मामले में-

• चुने गए नमूनों की संख्या = (कुल इकाइयाँ) ^{( नमूने की चयनित इकाइयों की संख्या)}
• = (१०) ^३
• = 1000

इसका मतलब है कि 1000 संभावित नमूने हैं जिन्हें चुना जा सकता है।

आइए जनसंख्या को इस तरह निरूपित करें - G1, G2, G3, G4, G5, G6, G7, G8, D1, D2।

तब नमूना (G1, G2, G3), (G1, D1, G7), और इतने पर हो सकता है … कुल मिलाकर 1000 नमूने।

अब आइए बताते हैं कि इस बात की क्या संभावना है कि निरीक्षक द्वारा चुने गए नमूने में कम से कम एक दोषपूर्ण बल्ब होगा।

प्रतिस्थापन के साथ नमूने के मामले में

संभाव्यता (कम से कम 1 दोषपूर्ण) = कुल संभावना - संभावना (कोई भी दोषपूर्ण)

कहा पे,

कुल संभावना का अर्थ है कुल जनसंख्या की संभावना (सार्वभौमिक सेट), अर्थात, हमेशा 1।

अच्छे बल्बों के चयन की संभावना की गणना

संभाव्यता (कोई भी दोषपूर्ण) = संभाव्यता (माल) x संभाव्यता (माल) x संभाव्यता (माल)

1 ^सेंट ड्रा 2 ^एनडी ड्रा 3 ^आरडी ड्रा

= n (अच्छे बल्बों की संख्या) / N (बल्बों की कुल संख्या) * n (अच्छे बल्बों की संख्या) / N (बल्बों की कुल संख्या) * n (अच्छे बल्बों की संख्या) / N (बल्बों की कुल संख्या)

= 8/10 * 8/10 * 8/10

• = 0.512

अब इन मूल्यों को मुख्य समीकरण में रखते हुए, हम प्राप्त करेंगे:

• संभाव्यता (कम से कम 1 दोषपूर्ण) = कुल संभावना - संभावना (कोई भी दोषपूर्ण)
• = 1 - 0.512
• = 0.488

स्पष्टीकरण - गुड बल्ब के चयन की संभावना हमेशा 8/10 रही क्योंकि प्रत्येक ड्रॉ के बाद, चयनित बल्ब को कुल समूह में बदल दिया गया था, इस प्रकार समूह 8 में हमेशा अच्छे बल्बों की कुल संख्या और समूह का कुल आकार होता है। कुल 10 बल्ब।

प्रतिस्थापन के बिना नमूने के मामले में

संभाव्यता (कम से कम 1 दोषपूर्ण) = कुल संभावना - संभावना (कोई भी दोषपूर्ण)

अच्छे बल्बों के चयन की संभावना की गणना

संभाव्यता (कोई भी दोषपूर्ण) = संभाव्यता (माल) x संभाव्यता (माल) x संभाव्यता (माल)

1 ^सेंट ड्रा 2 ^एनडी ड्रा 3 ^आरडी ड्रा

= n (अच्छे बल्बों की संख्या) / N (बल्बों की कुल संख्या) * n (अच्छे बल्बों की संख्या) / N (बल्बों की कुल संख्या) * n (अच्छे बल्बों की संख्या) / N (बल्बों की कुल संख्या)

• = 8/10 * 7/9 * 6/8

• = 0.467

अब इन मूल्यों को मुख्य समीकरण में रखते हुए, हम प्राप्त करेंगे:

संभाव्यता (कम से कम 1 दोषपूर्ण) = कुल संभावना - संभावना (कोई भी दोषपूर्ण)

• = 1 - 0.467
• = 0.533 से

स्पष्टीकरण - 1 ^सेंट ड्रॉ में समूह से एक अच्छे बल्ब का चयन करने की संभावना 8/10 थी क्योंकि, कुल 10 बल्बों के समूह में कुल 8 अच्छे बल्ब थे। लेकिन 1 ^सेंट ड्रा के बाद , चयनित बल्ब को फिर से नहीं चुना जाना था, जिसका अर्थ है कि इसे अगले ड्रा में बाहर रखा जाना है। इसलिए 2 ^{एन डी} ड्रॉ में, पहले ड्रॉ में चुने गए बल्ब को छोड़कर गुड बल्ब को 7 तक कम कर दिया गया था, और समूह में कुल बल्ब 9 ^एनडी ड्रॉ 7/9 में गुड बल्ब का चयन करने की संभावना 9 बना रहा । उसी प्रक्रिया को 3 ^आरडी ड्रा के लिए माना जाएगा ।

दिए गए उदाहरण में, आप देख सकते हैं कि प्रतिस्थापन के साथ नमूने के मामले में, 1 ^सेंट , 2 ^{एन डी,} और 3 ^आरडी ड्रॉ स्वतंत्र हैं, अर्थात, सभी मामलों में एक अच्छा बल्ब चुनने की संभावना समान होगी (8 /) १०)।

जबकि, प्रतिस्थापन के बिना नमूने के मामले में, प्रत्येक ड्रा पिछले ड्रा पर निर्भर है। उदाहरण के लिए, पहले ड्रा में एक अच्छे बल्ब के चयन की संभावना 8/10 होगी, क्योंकि कुल 10 बल्बों में 8 अच्छे बल्ब थे। लेकिन दूसरे ड्रॉ में, शेष बल्बों की संख्या 7 थी, और कुल जनसंख्या का आकार 9 तक कम हो गया था। इस प्रकार संभावना 7/9 हो गई।

उदाहरण # 3

मान लीजिए कि श्री ए एक डॉक्टर है, जिसके पास 9 रोगी हैं जो एक बीमारी से पीड़ित हैं, जिसके लिए उन्हें नियमित रूप से दवाएँ और दवा के इंजेक्शन उपलब्ध कराने हैं, और तीन रोगी डेंगू से पीड़ित हैं। तीन सप्ताह का रिकॉर्ड इस प्रकार है:

दवाओं से कोई परिणाम नहीं देखने के बाद, डॉक्टर ने उन्हें एक विशेषज्ञ डॉक्टर के पास भेजने का फैसला किया। समय की कमी के कारण, विशेषज्ञ ने अपनी स्थिति और स्थितियों की जांच करने के लिए 3 रोगियों का अध्ययन करने का निर्णय लिया।

उपाय:

जनसंख्या का निष्पक्ष दृष्टिकोण प्रदान करने के लिए, औसतन चुने गए नमूने का माध्य और विचरण क्रमशः पूरी जनसंख्या के औसत और विचरण के बराबर होना चाहिए।

यहां जनसंख्या का मतलब तीन हफ्तों में रोगियों द्वारा उपयोग की जाने वाली दवाओं की औसत संख्या है, जो सभी संख्याओं को संक्षेप में गणना कर सकते हैं। रोगियों की कुल संख्या से इंजेक्शन और इसे विभाजित करना। (मतलब विभिन्न गणितीय अवधारणाओं के साथ-साथ आंकड़ों में भी शामिल हैं।)

जनसंख्या का मतलब (X _p ),

जनसंख्या का मतलब (X _p ),

कहा पे,

• Xp = जनसंख्या के माध्य के लिए प्रयुक्त शब्द
• क्सी = इंजेक्शन की संख्या मैं के लिए ^वें रोगी
• एन = रोगियों की कुल संख्या

इन मूल्यों को समीकरण में रखकर, हम प्राप्त करेंगे

जनसंख्या की गणना का मतलब

• जनसंख्या का मतलब = (१ + २ + ३ + ४ + ५ + ६ + + +) + ९) / (९)
• = 10.1 दवा प्रति मरीज इंजेक्शन

स्पष्टीकरण - इसका मतलब है कि औसतन, एक मरीज 3 सप्ताह में 10.1 दवा इंजेक्शन का उपयोग करता है।

जैसा कि हम देख सकते हैं कि उदाहरण में, रोगियों द्वारा उपयोग किए जाने वाले इंजेक्शन की वास्तविक संख्या जनसंख्या के औसत से भिन्न होती है, हमने गणना की है, और इस तरह के शब्द के लिए, वेरिएंस का उपयोग किया जाता है।

यहाँ जनसंख्या के विचरण का अर्थ है रोगी द्वारा उपयोग की जाने वाली दवाओं के बीच के अंतर का वर्ग और सभी रोगियों द्वारा उपयोग की जाने वाली औसत दवाओं (जनसंख्या का औसत)।

जनसंख्या भिन्न रूप

जनसंख्या का अंतर = वास्तविक दवाओं और औसत दवाओं / रोगियों की कुल संख्या के बीच अंतर का वर्ग

= (वास्तविक दवा 1 रोगी-लाभ की दवा) 2 + (वास्तविक दवा 2 रोगी-लाभ की दवा) 2 से 9 मरीज तक / कुल रोगियों की संख्या

= (10-10.1) 2 + (8-10.1) 2…। + (10-10.1) 2/9

जनसंख्या की गणना

• = (0.01 + 4.46 + 3.57 + 1.23 + 0.79 + 0.79 + 1.23 + 0.79 + 0.01
• जनसंख्या का अंतर = 1.43

इस मामले में चयनित नमूने की संख्या = (कुल इकाइयाँ) ^{(नमूने की चयनित इकाइयों की संख्या) है}

= ९ ^३ = 9२ ९

प्रासंगिकता और उपयोग

• इस प्रक्रिया का उपयोग नमूनों से जनसंख्या के बारे में निष्कर्ष निकालने के लिए किया जाता है। इसका उपयोग आबादी के केवल एक हिस्से (नमूने) को देखकर जनसंख्या की विशेषताओं को निर्धारित करने के लिए किया जाता है।
• नमूना लेने के लिए पूरी आबादी को देखने की तुलना में कम संसाधनों और बजट की आवश्यकता होती है।
• एक नमूना पूरी आबादी को देखते हुए जल्दी से आवश्यक जानकारी प्रदान करेगा, शायद संभव नहीं है, और इसमें बहुत समय लग सकता है।
• एक नमूना पूरी आबादी पर एक रिपोर्ट की तुलना में अधिक सटीक हो सकता है। एक मैला आयोजित जनगणना ध्यान से प्राप्त नमूने की तुलना में कम विश्वसनीय जानकारी प्रदान कर सकती है।
• ऑडिट के मामले में, दिए गए समय वाक्यांश में एक बड़े उद्योग के लेनदेन का वाउचर और सत्यापन संभव नहीं है। इसलिए नमूना विधि का उपयोग इस तरह से किया जाता है कि निष्पक्ष नमूने का चयन किया जा सकता है जो सभी लेनदेन का प्रतिनिधित्व करता है।