टी वितरण फॉर्मूला - छात्रों की गणना करें T वितरण - उदाहरण

छात्र के टी वितरण की गणना करने का सूत्र

टी वितरण की गणना करने का सूत्र (जिसे छात्र के टी डिस्ट्रीब्यूशन के रूप में भी जाना जाता है) को नमूना माध्य (पहले नमूने का मतलब) से जनसंख्या का मतलब (दूसरे नमूने का मतलब) घटाकर दिखाया गया है (x̄ - μ) जो तब उन साधनों के मानक विचलन से विभाजित किया गया है, जो शुरू में n के वर्गमूल से विभाजित होता है जो कि उस नमूने में इकाइयों की संख्या है (s (s (n))।

टी डिस्ट्रीब्यूशन एक तरह का डिस्ट्रीब्यूशन है जो लगभग सामान्य डिस्ट्रीब्यूशन कर्व या बेल कर्व की तरह दिखता है लेकिन थोड़ा फैटर और शॉर्ट टेल के साथ। जब नमूना आकार छोटा होता है, तो इस वितरण का उपयोग सामान्य वितरण के बजाय किया जाएगा।

t = (x√ - μ) / (s / )n)

कहा पे,

• x नमूना माध्य है
• μ जनसंख्या माध्य है
• s मानक विचलन है
• n दिए गए नमूने का आकार है

टी वितरण की गणना

छात्र के टी वितरण की गणना काफी सरल है, लेकिन हां, मूल्यों की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, किसी को जनसंख्या के अर्थ की आवश्यकता होती है, जो कि ब्रह्मांड का मतलब है, जो कि जनसंख्या के औसत के अलावा और कुछ नहीं है, जबकि नमूना का मतलब आबादी की प्रामाणिकता का परीक्षण करने के लिए आवश्यक है, चाहे जनसंख्या के आधार पर दावा किया गया कथन वास्तव में सही हो और नमूना अगर किसी भी लिया उसी बयान का प्रतिनिधित्व करेगा। तो, यहाँ t वितरण फॉर्मूला जनसंख्या माध्य से नमूना माध्य को घटाता है और फिर इसे मानक विचलन से विभाजित करता है और मूल्य को मानकीकृत करने के लिए नमूना आकार के वर्गमूल से गुणा करता है।

हालाँकि, चूंकि t वितरण गणना के लिए कोई सीमा नहीं है, इसलिए मान अजीब हो सकता है, और हम संभाव्यता की गणना नहीं कर पाएंगे क्योंकि छात्र के t वितरण में एक मूल्य पर पहुंचने की सीमाएं हैं, और इसलिए यह केवल छोटे नमूना आकार के लिए उपयोगी है । इसके अलावा, स्कोर पर पहुंचने के बाद संभाव्यता की गणना करने के लिए, किसी को छात्र की टी वितरण तालिका से उस मूल्य को खोजने की आवश्यकता होती है।

उदाहरण

उदाहरण 1

निम्नलिखित चर पर विचार करें:

• जनसंख्या का मतलब = 310
• मानक विचलन = ५०
• नमूने का आकार = 16
• नमूना का मतलब = 290

टी-वितरण मूल्य की गणना करें।

उपाय:

टी वितरण की गणना के लिए निम्नलिखित डेटा का उपयोग करें।

तो, टी वितरण की गणना निम्नानुसार की जा सकती है-

यहाँ सभी मान दिए गए हैं। हमें सिर्फ मूल्यों को शामिल करने की जरूरत है।

हम t वितरण सूत्र का उपयोग कर सकते हैं

टी = (290 - 310) / (50 / )16) का मान

टी मूल्य = -1.60

उदाहरण # 2

SRH कंपनी का दावा है कि विश्लेषक स्तर पर उसके कर्मचारी औसतन $ 500 प्रति घंटे कमाते हैं। विश्लेषक स्तर पर 30 कर्मचारियों का एक नमूना चुना गया है, और प्रति घंटे उनकी औसत कमाई $ 30 थी, जिसमें $ 30 का नमूना विचलन था। और उनके दावे को सच मानते हुए, t-distribution मूल्य की गणना करें, जिसका उपयोग टी-वितरण के लिए संभावना खोजने के लिए किया जाएगा।

उपाय:

टी वितरण की गणना के लिए निम्नलिखित डेटा का उपयोग करें।

तो, टी वितरण की गणना निम्नानुसार की जा सकती है-

यहाँ सभी मान दिए गए हैं; हमें सिर्फ मूल्यों को शामिल करने की जरूरत है।

हम t वितरण सूत्र का उपयोग कर सकते हैं

T = (450 - 500) / (30/45030) का मान

T मान = -9.13

इसलिए t स्कोर का मान -9.13 है

उदाहरण # 3

यूनिवर्सल कॉलेज बोर्ड ने 50 बेतरतीब ढंग से चयनित प्रोफेसरों को आईक्यू लेवल टेस्ट दिया था। और जो परिणाम उन्हें मिला, वह औसत IQ स्तर का स्कोर 120 था जो 121 के संस्करण के साथ था। मान लें कि टी स्कोर 2.407 है। इस परीक्षण के लिए जनसंख्या का क्या मतलब है, जो 2.407 के रूप में टी स्कोर मूल्य को सही ठहराएगा?

उपाय:

टी वितरण की गणना के लिए निम्नलिखित डेटा का उपयोग करें।

यहां सभी मान टी मान के साथ दिए गए हैं; हमें इस बार t मान के बजाय जनसंख्या माध्य की गणना करने की आवश्यकता है।

फिर, हम उपलब्ध आंकड़ों का उपयोग करेंगे और नीचे दिए गए सूत्र में दिए गए मानों को सम्मिलित करके जनसंख्या के साधनों की गणना करेंगे।

नमूना का मतलब 120 है, जनसंख्या का मतलब अज्ञात है, नमूना मानक विचलन विचरण का वर्गमूल होगा, जो 11 होगा, और नमूना आकार 50 है।

तो, जनसंख्या माध्य (μ) की गणना निम्नानुसार की जा सकती है-

हम t वितरण सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।

T = (120 - μ) / (11 / )50) का मान

2.407 = (120 - μ) / (11/12050)

-μ = -2.407 * (11 / -150) -120

जनसंख्या का मतलब (μ) होगा -

μ = 116.26

इसलिए जनसंख्या का मान 116.26 होगा

प्रासंगिकता और उपयोग

टी डिस्ट्रीब्यूशन (और उन जुड़े टी स्कोर मानों) का उपयोग परिकल्पना परीक्षण में किया जाता है जब किसी को यह पता लगाने की आवश्यकता होती है कि किसी को अस्वीकार करना चाहिए या शून्य परिकल्पना को स्वीकार करना चाहिए।

उपरोक्त ग्राफ में, केंद्रीय क्षेत्र स्वीकृति क्षेत्र होगा, और पूंछ क्षेत्र अस्वीकृति क्षेत्र होगा। इस ग्राफ़ में, जो 2 पूंछ वाला परीक्षण है, नीला छायांकित अस्वीकृति क्षेत्र होगा। पूंछ क्षेत्र के क्षेत्र को या तो टी-स्कोर के साथ या जेड-स्कोर के साथ वर्णित किया जा सकता है। एक उदाहरण लें; बाईं ओर की छवि पांच प्रतिशत (जो दोनों तरफ 2.5% है) की पूंछ में एक क्षेत्र को चित्रित करेगी। जेड-स्कोर 1.96 (जेड-टेबल से मान लेते हुए) होना चाहिए, जो औसत या औसत से 1.96 मानक विचलन का प्रतिनिधित्व करेगा। शून्य परिकल्पना को अस्वीकार किया जा सकता है यदि z स्कोर का मान -1.96 के मान से कम है, या z स्कोर का मूल्य 1.96 से अधिक है।

सामान्य तौर पर, इस वितरण का उपयोग पहले के रूप में वर्णित किया जाएगा जब किसी का एक छोटा नमूना आकार होता है (अधिकतर 30 के तहत) या यदि कोई नहीं जानता है कि जनसंख्या का विचरण या जनसंख्या मानक विचलन क्या है। व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए (जो वास्तविक दुनिया में है), यह हमेशा प्रमुखता से होता है। यदि प्रदान किए गए नमूने का आकार काफी बड़ा है, तो 2 वितरण व्यावहारिक रूप से समान होंगे।