स्वतंत्र घटनाएँ (परिभाषा, उदाहरण) - संभाव्यता की गणना करें

इंडिपेंडेंट इवेंट्स परिभाषा;

स्वतंत्र घटना आंकड़ों में व्यापक रूप से इस्तेमाल किया जाने वाला शब्द है, जो दो घटनाओं के सेट को संदर्भित करता है जिसमें किसी एक घटना की घटना सेट के किसी अन्य घटना की घटना को प्रभावित नहीं करती है। दूसरे शब्दों में, ये वे घटनाएँ हैं जो अन्य घटनाओं के होने या न होने की कोई जानकारी नहीं देती हैं।

स्पष्टीकरण

एक सामान्य परिदृश्य में, किसी विशेष घटना की घटना या गैर-घटना अन्य घटनाओं में एक अंतर्दृष्टि प्रदान कर सकती है। हालाँकि, स्वतंत्र घटनाओं में भी ऐसा नहीं होता है, क्योंकि किसी एक घटना के घटित होने या न होने की स्थिति किसी अन्य घटना के अस्तित्व के बारे में कोई विचार या जानकारी प्रदान करने वाली नहीं होती है। इस प्रकार, किसी एक घटना का परिणाम उसी सेट में किसी अन्य घटना के परिणाम पर निर्भर नहीं है।

स्वतंत्र घटनाओं के उदाहरण

अवधारणा को कुछ उदाहरणों की मदद से अच्छी तरह समझा जा सकता है -

• हम दो सिक्के लेते हैं और फिर उन्हें टॉस करते हैं। एक सिक्के पर पूंछ या सिर की उपस्थिति की घटना दूसरे सिक्के पर पूंछ या सिर की उपस्थिति का निर्णायक नहीं है। इस प्रकार, दो सिक्कों को एक साथ उछालना या एक ही सिक्के को दो बार उछालना स्वतंत्र घटनाओं के लिए कहा जा सकता है। कारण यह है कि प्रत्येक परिणाम की संभावना (यानी, सिर या पूंछ) हर बार 50% होती है और अंतिम टॉस पर निर्भर नहीं होती है।
• इसी तरह, जब हम दो डाइस लेते हैं और उन्हें रोल करते हैं, तो एक डाइस पर परिणामी संख्या दूसरे पासा पर परिणामी संख्या तय नहीं करती है। नतीजतन, दो पांसे का रोल करना एक और उदाहरण है।

नियम

प्रायिकता में एक गुणन नियम है जिसे पहचानने के लिए परीक्षण किया जा सकता है कि दोनों घटनाएँ स्वतंत्र हैं या नहीं।

गुणन नियम कहता है कि, यदि दो घटनाएँ स्वतंत्र हैं, तो:

P (A | B) = P (A)

यह गणितीय अर्थ बताता है कि ए और बी नाम की दो घटनाओं को स्वतंत्र कहा जाता है, जब घटना ए की संभावना, उस घटना बी को दी जाती है, घटना ए की संभावना के बराबर है, क्योंकि स्वतंत्र घटनाओं के मामले में, किसी घटना की घटना या गैर-घटना अन्य घटना की घटना या गैर-घटना का निर्णय नहीं करती है।

इसी तरह, निम्नलिखित धारणा भी सही है।

P (B | A) = P (B)

इसका अर्थ है कि यदि A और B दो स्वतंत्र घटनाएँ हैं, तो घटना B की संभावना, जो उस घटना A की होती है, घटना B की संभावना के बराबर है।

इसके अलावा, एक और अवलोकन है जो इस तरह की घटनाओं के लिए सच है।

P (A और B) = P (A) * P (B)

उपरोक्त समीकरण से पता चलता है कि यदि घटनाएँ A और B स्वतंत्र हैं, तो होने वाली दोनों घटनाओं की संभावना उनकी व्यक्तिगत संभावनाओं के उत्पाद के बराबर है।

संभाव्यता में स्वतंत्र घटनाएँ

संभाव्यता की शब्दावली में, दो घटनाओं को स्वतंत्र कहा जा सकता है यदि एक घटना का परिणाम किसी अन्य घटना की घटना या गैर-घटना की संभावना का निर्णायक नहीं है।

किसी भी घटना के लिए संभाव्यता की गणना निम्नलिखित है -

उदाहरण के लिए, आइए हम इसे रोल करते समय पासा पर 6 प्राप्त करने की संभावना की गणना करें। यहां, परिणामों की कुल संख्या छह है (संख्या 1,2,3,4,5 और 6), और अनुकूल परिणामों की संख्या एक (संख्या 6) है। इसलिए, संभावना 0.16 हो जाती है।

स्वतंत्र बनाम आश्रित घटनाएँ

• दो घटनाओं को तब स्वतंत्र कहा जाता है जब एक घटना की संभावना किसी अन्य घटना की संभावना को प्रभावित नहीं करती है। उदाहरण के लिए, एक साथ दो सिक्के उछालना स्वतंत्र घटना है क्योंकि पहले सिक्के पर सिर या पूंछ की संभावना दूसरे सिक्के पर सिर या पूंछ की संभावना पर निर्भर या निर्णायक नहीं होती है।
• दूसरी ओर, दो घटनाओं को आश्रित कहा जाता है यदि किसी एक घटना के परिणाम किसी अन्य घटना की संभावना को बदल सकते हैं। सरल शब्दों में, जब एक घटना का परिणाम किसी अन्य घटना की घटना को प्रभावित कर सकता है, तो घटनाओं को आश्रित घटना कहा जाता है। उदाहरण के लिए, 52 कार्डों के एक डेक में, दो कार्ड एक-एक करके बेतरतीब ढंग से चुने जाते हैं। अब, यदि पहला कार्ड चुना गया है और इसे प्रतिस्थापित नहीं किया गया है, तो पहले कार्ड को हटा दिए जाने के बाद से दूसरे कार्ड की संभावना निश्चित रूप से बदल जाएगी, केवल 51 कार्ड डेक में रहने हैं। यह दो घटनाओं पर निर्भर घटनाओं के रूप में होता है।

निष्कर्ष

यह निष्कर्ष निकालने के लिए कि क्या घटनाएं निर्भर हैं या नहीं, किसी को यह विश्लेषण करने की आवश्यकता है कि क्या एक घटना की घटना दूसरी घटना की संभावना को बदल सकती है। कोई भी दोनों घटनाओं की संभावना की गणना कर सकता है और स्वतंत्रता परीक्षण का परीक्षण करने के लिए गुणन नियम लागू कर सकता है।