सांख्यिकी में सामान्य वितरण क्या है?
सामान्य वितरण एक घंटी के आकार की आवृत्ति वितरण वक्र है जो सभी संभावित मूल्यों का वर्णन करने में मदद करता है एक यादृच्छिक चर किसी वितरण सीमा के भीतर ले जा सकता है जिसमें अधिकांश वितरण क्षेत्र मध्य में होता है और कुछ पूंछ में, चरम सीमा पर होते हैं। इस वितरण के दो मुख्य पैरामीटर हैं: माध्य (has) और मानक विचलन (which) जो परिसंपत्तियों की वापसी गणना और जोखिम प्रबंधन रणनीति में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।
सामान्य वितरण की व्याख्या कैसे करें
उपरोक्त आंकड़ा दर्शाता है कि सांख्यिकीय सामान्य वितरण एक घंटी के आकार का वक्र है। इस वितरण के संभावित परिणामों की सीमा पूरी वास्तविक संख्या है जो ∞ से + comes के बीच है। घंटी वक्र की पूंछ बिना सीमा के चार्ट (+/-) के दोनों किनारों पर विस्तारित होती है।
- सभी अवलोकन का लगभग 68% +/- एक मानक विचलन (%) के भीतर आता है
- सभी अवलोकन का लगभग 95% +/- दो मानक विचलन (of) के भीतर आते हैं
- सभी अवलोकन का लगभग 99% +/- तीन मानक विचलन (of) के भीतर आते हैं
इसमें शून्य का तिरछा होना (वितरण की समरूपता) है। यदि डेटा का वितरण असममित है, तो डेटा असमानता शून्य या सकारात्मक तिरछा से अधिक होने पर वितरण असमान है। फिर, वितरण की दाहिनी पूंछ बाएं से अधिक लम्बी होती है, और नकारात्मक तिरछापन (शून्य से कम) के लिए बाईं पूंछ दाएं पूंछ से अधिक लंबी होगी।
इसमें 3 का कुर्तोसिस है (वितरण की चरमसीमा के उपाय), जो इंगित करता है कि वितरण न तो बहुत अधिक है और न ही बहुत पतली पूंछ है। यदि कुर्तोसिस वितरण की तुलना में तीन से अधिक है, तो थैले पूंछों के साथ अधिक चोटी है, और यदि कुर्तोसिस तीन से कम है, तो इसमें पतली पूंछ हैं, और शिखर बिंदु सामान्य वितरण से कम है।
विशेषताएँ
- वे वितरण के एक परिवार का प्रतिनिधित्व करते हैं, जहां माध्य और विचलन वितरण के आकार को निर्धारित करते हैं।
- इस वितरण के माध्य, माध्य और मोड सभी समान हैं।
- आधा मान केंद्र के बाईं ओर और दूसरा आधा दाईं ओर होता है।
- मानक वक्र के तहत कुल मूल्य हमेशा एक होगा।
- सबसे अधिक संभावना है, वितरण केंद्र में है, और कम मूल्य पूंछ के अंत में स्थित हैं।
परिवर्तन (Z)
वितरण के बाद यादृच्छिक चर (X) की प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन (PDF) निम्न द्वारा दिया जाता है:
जहाँ-where <x <<; -। <Μ 0
कहा पे,
- एफ (एक्स) = सामान्य संभावना समारोह
- x = यादृच्छिक चर
- µ = वितरण का मतलब
- σ = वितरण का मानक विचलन
- π = 3.14159
- ई = २. e१28२28
परिवर्तन सूत्र
कहा पे,
- एक्स = यादृच्छिक चर
सांख्यिकी में सामान्य वितरण के उदाहरण
आइए निम्नलिखित उदाहरणों पर चर्चा करें।
उदाहरण 1
मान लीजिए कि किसी कंपनी में नौकरी की भूमिका के अनुसार 10000 कर्मचारी और कई वेतन संरचना है जिसमें कर्मचारी काम करता है। वेतन आम तौर पर of = $ 60,000 की आबादी के साथ वितरित किया जाता है, और जनसंख्या मानक विचलन $ = $ 15000। इस बात की संभावना क्या होगी कि बेतरतीब ढंग से चयनित कर्मचारी का वेतन $ 45000 सालाना से कम है।
उपाय
जैसा कि उपरोक्त आंकड़े में दिखाया गया है, इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, हमें 45 से बाईं ओर की पूंछ के सामान्य वक्र के नीचे के क्षेत्र का पता लगाने की आवश्यकता है। इसके अलावा, हमें सही उत्तर पाने के लिए Z- टेबल वैल्यू का उपयोग करने की आवश्यकता है।
सबसे पहले, हमें परिवर्तन सूत्र का उपयोग करके दिए गए माध्य और मानक विचलन को माध्य (=) = 0 और मानक विचलन (dev) = 1 के साथ मानक सामान्य वितरण में बदलने की आवश्यकता है।
रूपांतरण के बाद, हमें संबंधित मान ज्ञात करने के लिए Z- तालिका देखने की आवश्यकता है, जो हमें सही उत्तर देगा।
दिया हुआ,
- मीन (=) = $ 60,000
- मानक विचलन (dev) = $ 15000
- रैंडम वेरिएबल (x) = $ 45000
परिवर्तन (z) = (४५००० - ६०००० / १५०००)
परिवर्तन (z) = -1
अब जेड-टेबल में -1 के बराबर मूल्य 0.1587 है, जो कि वक्र के नीचे के क्षेत्र को 45 से बाईं ओर जाने वाले मार्ग का प्रतिनिधित्व करता है। यह इंगित करता है कि जब हम किसी कर्मचारी को यादृच्छिक रूप से चुनते हैं, तो एक वर्ष में $ 45000 से कम बनाने की संभावना 15.87% है।
उदाहरण # 2
अब समान परिदृश्य को ऊपर रखते हुए, इस संभावना का पता लगाएं कि बेतरतीब ढंग से चयनित कर्मचारी सामान्य वितरण का उपयोग करके प्रति वर्ष $ 80,000 से अधिक कमाता है।
उपाय
इसलिए इस प्रश्न में, हमें उसी सूत्र का उपयोग करके 80 से दाएं पूंछ तक छायांकित क्षेत्र का पता लगाने की आवश्यकता है।
दिया हुआ,
- मीन (=) = $ 60,000
- मानक विचलन (dev) = $ 15000
- यादृच्छिक चर (एक्स) = $ 80,000
परिवर्तन (z) = (80000 - 60000/15000)
परिवर्तन (z) = 1.33
जेड-टेबल के अनुसार, 1.33 का समतुल्य मूल्य 0.9082 या 90.82% है, जो दर्शाता है कि $ 80,000 से कम सालाना कमाने वाले कर्मचारियों के बेतरतीब ढंग से चयन करने की संभावना 90.82% है।
लेकिन सवाल के अनुसार, हमें यादृच्छिक कर्मचारियों को प्रति वर्ष $ 80,000 से अधिक कमाने की संभावना निर्धारित करने की आवश्यकता है, इसलिए हमें 100 से मूल्य घटाना होगा।
- रैंडम वेरिएबल (X) = 100% - 90.82%
- रैंडम वेरिएबल (X) = 9.18%
इसलिए संभावना है कि कर्मचारी प्रति वर्ष $ 80,000 से अधिक कमाते हैं 9.18%।
उपयोग करता है
- शेयर बाजार तकनीकी चार्ट अक्सर एक घंटी वक्र होता है, जो विश्लेषकों और निवेशकों को शेयरों की अपेक्षित वापसी और जोखिम के बारे में सांख्यिकीय निष्कर्ष बनाने की अनुमति देता है।
- इसका उपयोग वास्तविक दुनिया में किया जाता है, जैसे पिज्जा और कई और वास्तविक अनुप्रयोगों को वितरित करने के लिए पिज्जा कंपनियों द्वारा लिए गए सबसे संभावित सर्वोत्तम समय का निर्धारण करना।
- किसी दिए गए जनसंख्या सेट की ऊँचाई की तुलना करने में उपयोग किया जाता है जिसमें अधिकांश लोगों का औसत आकार बहुत कम लोगों के पास होगा जो औसत से ऊपर या औसत ऊँचाई से नीचे होगा।
- उनका उपयोग छात्रों के औसत शैक्षणिक प्रदर्शन को निर्धारित करने में किया जाता है, जो छात्रों के रैंक की तुलना करने में मदद करता है।
निष्कर्ष
सामान्य वितरण डेटा विज्ञान और डेटा एनालिटिक्स में एप्लिकेशन पाता है। इस डिस्ट्रीब्यूशन के साथ-साथ आर्टिफिशियल इंटेलिजेंस और मशीन लर्निंग जैसी उन्नत तकनीकें बेहतर डेटा क्वालिटी दे सकती हैं, जो व्यक्तियों और कंपनियों को प्रभावी निर्णय लेने में मदद करेंगी।
