लॉग सामान्य वितरण (परिभाषा, सूत्र) - प्रैक्टिकल उदाहरण

लॉग-सामान्य वितरण क्या है?

एक लॉग-सामान्य वितरण यादृच्छिक चर का एक निरंतर वितरण है जिसके लॉगरिदम सामान्य रूप से वितरित किए जाते हैं। दूसरे शब्दों में, ई ^x के कार्य से लॉगनॉर्मल वितरण उत्पन्न होता है , जहाँ x (यादृच्छिक चर) को सामान्य रूप से वितरित किया जाना चाहिए। ई ^x के प्राकृतिक लघुगणक में ^x है, lognormms के lognormally वितरित यादृच्छिक चर सामान्य रूप से वितरित किए जाते हैं।

एक चर X को सामान्य रूप से वितरित किया जाता है यदि Y = ln (X), जहां ln प्राकृतिक लघुगणक है।

• य = ई ^एक्स
• चलो दोनों तरफ एक प्राकृतिक लघुगणक मान लेते हैं।
• lnY = ln e ^x जिसके परिणामस्वरूप lnY = x है

इसलिए, हम कह सकते हैं, यदि X के रैंडम वैरिएबल का सामान्य वितरण है, तो Y का एक लॉगनॉर्मल वितरण है।

लॉग-सामान्य वितरण फॉर्मूला

लॉगेनॉर्मल वितरण की प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन के सूत्र को अर्थ μ और मानक विचलन by द्वारा परिभाषित किया गया है, जिसे निम्न के लिए आवंटित किया गया है:

लॉग-सामान्य वितरण के पैरामीटर

लॉग-सामान्य वितरण को निम्नलिखित तीन मापदंडों की विशेषता है:

• dev , वितरण के लॉग का मानक विचलन, जिसे आकार पैरामीटर भी कहा जाता है। आकार पैरामीटर आमतौर पर लॉगनॉर्मल वितरण के समग्र आकार को प्रभावित करता है, लेकिन यह ग्राफ के स्थान और ऊंचाई को प्रभावित नहीं करता है।
• मी , वितरण का माध्यिका, जिसे स्केल पैरामीटर के रूप में भी जाना जाता है।
• Θ , स्थान पैरामीटर जो x- अक्ष पर ग्राफ पता लगाने के लिए प्रयोग किया जाता है।

माध्य और मानक विचलन लोगनॉर्मल वितरण के दो प्रमुख पैरामीटर हैं, और यह इन दो मापदंडों द्वारा स्पष्ट रूप से परिभाषित किया गया है।

निम्न आंकड़ा सामान्य वितरण और लॉग-सामान्य वितरण दिखाता है।

उपरोक्त आंकड़े से, हम लॉग-सामान्य वितरण की निम्नलिखित विशेषताओं को नोट कर सकते हैं।

• लॉग-नॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन सकारात्मक रूप से कम वैल्यू और विचार में रैंडम वेरिएबल्स में अधिक वेरिएशन के कारण दाईं ओर तिरछा होता है।
• लॉगऑनॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन हमेशा नीचे से 0 से घिरा होता है क्योंकि यह एसेट की कीमतों को मॉडलिंग करने में मदद करता है, जो नकारात्मक मूल्यों को ले जाने की उम्मीद नहीं है।
• बड़ी मात्रा में छोटे मानों के साथ लॉगनॉर्मल वितरण को सकारात्मक रूप से तिरछा किया जाता है और इसमें कुछ प्रमुख मूल्य शामिल होते हैं, जिसके परिणामस्वरूप इसका मतलब मोड से बहुत अधिक बार होता है।

उपरोक्त आंकड़े से, हम देख सकते हैं कि लॉग-सामान्य वितरण 0 से घिरा हुआ है, और यह दाईं ओर सकारात्मक रूप से तिरछा है, जिसे इसकी लंबी पूंछ द्वारा दाईं ओर देखा जा सकता है। इन दो अवलोकनों को लॉगनॉर्मल डिस्ट्रिब्यूशन का प्रमुख गुण माना जाता है। व्यवहार में, तार्किक वितरण इक्विटी या परिसंपत्ति की कीमतों के वितरण में बहुत मददगार साबित होता है, जबकि सामान्य वितरण समय की अवधि में संपत्ति के अपेक्षित रिटर्न का अनुमान लगाने में बहुत उपयोगी होता है।

लॉग-नॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन के उदाहरण

निम्नलिखित कुछ उदाहरण हैं जहां लॉग-सामान्य वितरण का उपयोग किया जा सकता है:

• ऊर्जा और पेट्रोलियम रिजर्व में गैस की मात्रा।
• दूध उत्पादन की मात्रा।
• वर्षा की मात्रा।
• विनिर्माण और औद्योगिक इकाइयों के संभावित जीवन जिनके अस्तित्व की संभावना तनाव की दर से होती है।
• किसी भी संक्रामक बीमारी के होने की अवधि।

लॉग-सामान्य वितरण के अनुप्रयोग और उपयोग

लॉग-सामान्य वितरण के अनुप्रयोग और उपयोग निम्नलिखित हैं।

• सबसे अधिक इस्तेमाल किया और लोकप्रिय वितरण एक सामान्य वितरण है, जो सामान्य रूप से वितरित और सममित है और एक घंटी के आकार का वक्र बनाता है जिसने विभिन्न प्राकृतिक को सरल से बहुत जटिल बना दिया है।
• लेकिन ऐसे उदाहरण हैं जहां सामान्य वितरण का सामना करना पड़ता है जहां लॉगनॉर्मल वितरण आसानी से लागू किया जा सकता है। सामान्य वितरण एक नकारात्मक यादृच्छिक चर पर विचार कर सकता है, लेकिन lognormal वितरण केवल सकारात्मक यादृच्छिक चर की परिकल्पना करता है।
• विभिन्न अनुप्रयोगों में से एक जहां वित्त में लॉगनॉर्मल वितरण का उपयोग किया जाता है जहां यह संपत्ति की कीमतों के विश्लेषण में लागू होता है। परिसंपत्तियों पर अपेक्षित प्रतिफल एक सामान्य वितरण में रेखांकन किया जाता है, लेकिन परिसंपत्तियों की कीमतों को एक असामान्य वितरण में रेखांकन किया जाता है।
• लोगनॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन वक्र की मदद से, हम समय की अवधि में परिसंपत्तियों पर वापसी की चक्रवृद्धि दर की आसानी से गणना कर सकते हैं।
• यदि हमने समय की अवधि में परिसंपत्तियों की कीमतों की गणना करने के लिए एक सामान्य वितरण लागू किया है, तो -100% से कम रिटर्न मिलने की संभावनाएं हैं, जो बाद में परिसंपत्तियों की कीमतों को 0. से कम मान लेता है, लेकिन अगर हम यौगिक का अनुमान लगाने के लिए तार्किक वितरण का उपयोग करते हैं समय की अवधि में वापसी की दर, हम आसानी से नकारात्मक रिटर्न प्राप्त करने की स्थिति को बंद कर सकते हैं क्योंकि लॉगनॉर्मल वितरण केवल सकारात्मक यादृच्छिक चर मानते हैं।
• एक मूल्य सापेक्ष संपत्ति की प्रारंभिक कीमत से विभाजित अवधि के अंत में संपत्ति की कीमत है, जो कि 1 प्लस होल्डिंग पीरियड रिटर्न के बराबर है। अवधि मूल्य की संपत्ति के अंत को खोजने के लिए, हम इसे प्रारंभिक संपत्ति की कीमत के सापेक्ष मूल्य गुणा से गुणा करके प्राप्त कर सकते हैं। असामान्य वितरण केवल सकारात्मक मूल्य लेता है; इसलिए, अवधि के अंत में संपत्ति की कीमत 0 से नीचे नहीं हो सकती है।

लॉज-नॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन इन मॉडलिंग इक्विटी स्टॉक प्राइस

लॉग-सामान्य वितरण का उपयोग स्टॉक के संभाव्यता वितरण और कई अन्य परिसंपत्ति कीमतों के मॉडलिंग के लिए किया गया है। उदाहरण के लिए, हमने देखा है कि ब्लैक-स्कोल्स-मर्टन विकल्प मूल्य निर्धारण मॉडल में लॉगऑनॉर्मल दिखाई देता है, जहां एक धारणा है कि अंतर्निहित परिसंपत्ति विकल्प की कीमत तार्किक रूप से उसी समय वितरित की जाती है।

निष्कर्ष

• सामान्य वितरण संभाव्यता वितरण है, जिसे विषम और घंटी के आकार का वक्र कहा जाता है। एक सामान्य वितरण में, परिणाम का 69% एक मानक विचलन के भीतर और 95% दो मानक विचलन के भीतर आता है।
• सामान्य वितरण की लोकप्रियता के कारण, अधिकांश लोग सामान्य वितरण की अवधारणा और अनुप्रयोग से परिचित हैं, लेकिन समय के साथ, वे समान वितरण की अवधारणा से समान रूप से परिचित नहीं हैं। सामान्य वितरण को लघुगणक की सहायता से लॉगनॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन में परिवर्तित किया जा सकता है, जो कि मौलिक आधार बन जाता है क्योंकि लॉगनॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन केवल रैंडम वैरिएबल पर विचार करता है जो सामान्य रूप से वितरित किया जाता है।
• सामान्य वितरण के साथ संयोजन में असामान्य वितरण का उपयोग किया जा सकता है। तार्किक वितरण, ln, प्राकृतिक लघुगणक मानने का परिणाम है जिसमें आधार e = 2.718 के बराबर है। दिए गए आधार के अलावा, अन्य आधार का उपयोग करके लॉगनॉर्मल वितरण किया जा सकता है, जो बाद में लॉगनॉर्मल वितरण के आकार को प्रभावित करेगा।
• सामान्य वितरण ग्राफ का लॉग सामान्य वितरण वक्रों से सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर का लॉग। Ln, प्राकृतिक लॉग को e, घातांक के रूप में जाना जाता है, जिसके लिए वांछित यादृच्छिक चर x प्राप्त करने के लिए आधार को उठाया जाना चाहिए, जो सामान्य वितरण वक्र पर पाया जा सकता है।