घातांक वितरण (परिभाषा, सूत्र) - कैसे करें गणना?

घातीय वितरण क्या है?

घातांक वितरण सतत और निरंतर संभाव्यता वितरण को संदर्भित करता है जो वास्तव में उस समयावधि को मॉडल करने के लिए उपयोग किया जाता है जिसे किसी व्यक्ति को दिए गए घटना के होने से पहले इंतजार करना पड़ता है और यह वितरण एक ज्यामितीय वितरण का एक निरंतर समकक्ष है जो इसके बजाय अलग है।

घातांक वितरण सूत्र

एक सतत रैंडम वैरिएबल x (स्केल पैरामीटर λ> 0 के साथ) को एक घातीय वितरण कहा जाता है, यदि इसकी संभावना घनत्व फ़ंक्शन को स्केल पैरामीटर से घटाकर शून्य से बड़े पैमाने के घातांक फ़ंक्शन के स्केल फ़ंक्शन से गुणा किया जा सकता है या सभी के लिए x से अधिक हो। शून्य के बराबर, अन्यथा संभावना घनत्व फ़ंक्शन शून्य के बराबर है।

गणितीय रूप से, संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन के रूप में दर्शाया गया है,

इस तरह का मतलब 1 / λ के बराबर है, और विचरण 1 / λ ^{2 के} बराबर है ।

घातांक वितरण की गणना (चरण दर चरण)

• चरण 1: सबसे पहले, यह पता लगाने की कोशिश करें कि क्या विचाराधीन घटना प्रकृति में निरंतर और स्वतंत्र है और लगभग स्थिर दर पर होती है। कोई भी व्यावहारिक घटना यह सुनिश्चित करेगी कि चर शून्य से अधिक या उसके बराबर है।
• चरण 2: अगला, स्केल पैरामीटर के मूल्य को निर्धारित करता है, जो कि औसतन माध्य का पारस्परिक है।

• • λ = 1 / माध्य

• चरण 3: अगला, स्केल पैरामीटर λ और वेरिएबल x को गुणा करें और फिर माइनस एक, यानी ई ^{- λ * x} द्वारा गुणा किए गए उत्पाद के घातीय फ़ंक्शन की गणना करें ।
• चरण 4: अंत में, संभावना घनत्व फ़ंक्शन को घातीय फ़ंक्शन और स्केल पैरामीटर को गुणा करके गणना की जाती है।

यदि उपरोक्त सूत्र शून्य से अधिक या बराबर सभी x के लिए सही है, तो x एक घातांक वितरण है।

उदाहरण

उदाहरण लेते हैं, x, जो कि कार्यालय के चपरासी द्वारा प्रबंधक के डेस्क से क्लर्क की डेस्क तक पहुंचाने में लगने वाले समय (मिनटों में) की राशि है। ग्रहण किए गए समय का कार्य पांच मिनट के बराबर समय की औसत राशि के साथ एक घातांक वितरण है।

यह देखते हुए कि x एक निरंतर यादृच्छिक चर है जब से समय को मापा जाता है।

औसत, μ = 5 मिनट

इसलिए, स्केल पैरामीटर, λ = 1 / μ = 1/5 = 0.20

इसलिए, घातांक वितरण संभावना फ़ंक्शन के रूप में व्युत्पन्न किया जा सकता है,

f (x) = 0.20 e ^{- 0.20 * x}

अब, वितरण वक्र को प्राप्त करने के लिए x के विभिन्न मूल्यों पर प्रायिकता फ़ंक्शन की गणना करें।

एक्स = 0 के लिए

एक्स = 0 के लिए घातीय वितरण संभावना समारोह होगा,

इसी तरह, एक्स = 1 से एक्स = 30 के लिए घातांक वितरण संभावना फ़ंक्शन की गणना करें

• X = 0 के लिए, f (0) = 0.20 e ^{-0.20 * 0} = 0.200
• X = 1, f (1) = 0.20 e ^{-0.20 * 1} = 0.164 के लिए
• X = 2, f (2) = 0.20 e ^{-0.20 * 2} = 0.134 के लिए
• X = 3, f (3) = 0.20 e ^{-0.20 * 3} = 0.110 के लिए
• X = 4, f (4) = 0.20 e ^{-0.20 * 4} = 0.090 के लिए
• X = 5, f (5) = 0.20 e ^{-0.20 * 5} = 0.074 के लिए
• X = 6, f (6) = 0.20 e ^{-0.20 * 6} = 0.060 के लिए
• X = 7, f (7) = 0.20 e ^{-0.20 * 7} = 0.049 के लिए
• X = 8, f (8) = 0.20 e ^{-0.20 * 8} = 0.040 के लिए
• X = 9 के लिए, f (9) = 0.20 e ^{-0.20 * 9} = 0.033
• X = 10 के लिए, f (10) = 0.20 e ^{-0.20 * 10} = 0.027
• X = 11 के लिए, f (11) = 0.20 e ^{-0.20 * 11} = 0.022
• X = 12, f (12) = 0.20 e ^{-0.20 * 12} = 0.018 के लिए
• X = 13, f (13) = 0.20 e ^{-0.20 * 13} = 0.015 के लिए
• X = 14, f (14) = 0.20 e ^{-0.20 * 14} = 0.012 के लिए
• X = 15 के लिए, f (15) = 0.20 e ^{-0.20 * 15} = 0.010
• X = 16 के लिए, f (16) = 0.20 e ^{-0.20 * 16} = 0.008
• X = 17 के लिए, f (17) = 0.20 e ^{-0.20 * 17} = 0.007
• X = 18 के लिए, f (18) = 0.20 e ^{-0.20 * 18} = 0.005
• X = 19 के लिए, f (19) = 0.20 e ^{-0.20 * 19} = 0.004
• X = 20, f (20) = 0.20 e ^{-0.20 * 20} = 0.004 के लिए
• X = 21 के लिए, f (21) = 0.20 e ^{-0.20 * 21} = 0.003
• X = 22 के लिए, f (22) = 0.20 e ^{-0.20 * 22} = 0.002
• X = 23 के लिए, f (23) = 0.20 e ^{-0.20 * 23} = 0.002
• X = 24 के लिए, f (24) = 0.20 e ^{-0.20 * 24} = 0.002
• X = 25, f (25) = 0.20 e ^{-0.20 * 25} = 0.001 के लिए
• X = 26 के लिए, f (26) = 0.20 e ^{-0.20 * 26} = 0.001
• X = 27, f (27) = 0.20 e ^{-0.20 * 27} = 0.001 के लिए
• X = 28, f (28) = 0.20 e ^{-0.20 * 28} = 0.001 के लिए
• X = 29, f (29) = 0.20 e ^{-0.20 * 29} = 0.001 के लिए
• X = 30, f (30) = 0.20 e ^{-0.20 * 30} = 0.000 के लिए

हमारे पास वितरण वक्र निम्नानुसार है,

प्रासंगिकता और उपयोग

यद्यपि वास्तविक दुनिया के परिदृश्यों में एक स्थिर दर की धारणा बहुत कम ही संतुष्ट है, अगर समय अंतराल को इस तरह से चुना जाता है कि दर लगभग स्थिर है, तो घातीय वितरण को एक अच्छे अनुमानित मॉडल के रूप में इस्तेमाल किया जा सकता है। भौतिकी, जल विज्ञान आदि के क्षेत्र में इसके कई अन्य अनुप्रयोग हैं।

सांख्यिकी और संभाव्यता सिद्धांत में, घातांक वितरण की अभिव्यक्ति संभाव्यता वितरण को संदर्भित करती है जिसका उपयोग दो क्रमिक घटनाओं के बीच के समय को परिभाषित करने के लिए किया जाता है जो स्वतंत्र रूप से और निरंतर औसत दर पर होता है। यह व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले निरंतर वितरणों में से एक है और यह एक्सेल में पॉइसन वितरण से सख्ती से संबंधित है।