एक बॉन्ड की उत्तलता क्या है?
बॉन्ड का उत्कर्ष एक माप है जो बॉन्ड की कीमत और बॉन्ड यील्ड के बीच के संबंध को दर्शाता है, अर्थात, बॉन्ड की अवधि में परिवर्तन ब्याज दर में बदलाव के कारण होता है, जो पोर्टफोलियो के माप और प्रबंधन के लिए एक जोखिम प्रबंधन टूल की मदद करता है ब्याज दर जोखिम और अपेक्षा के नुकसान के जोखिम के संपर्क में
स्पष्टीकरण
जैसा कि हम जानते हैं कि बॉन्ड की कीमत और पैदावार विपरीत रूप से संबंधित होती है, जैसे ही पैदावार बढ़ती है, कीमत घट जाती है। हालाँकि, यह संबंध एक सीधी रेखा नहीं है, बल्कि उत्तल वक्र है। उत्तोलन इस रिश्ते में वक्रता को मापता है, अर्थात, बांड की उपज में परिवर्तन के साथ अवधि कैसे बदलती है।
एक बांड की अवधि बांड की कीमत और ब्याज दरों के बीच रैखिक संबंध है, जहां, जैसे ही ब्याज दरें बढ़ती हैं, बांड की कीमत घट जाती है। सीधे शब्दों में कहें, एक उच्च अवधि का अर्थ है कि बांड मूल्य दर परिवर्तनों के प्रति अधिक संवेदनशील है। बांड में एक छोटे और अचानक बदलाव के लिए, उपज की अवधि बांड की कीमत की संवेदनशीलता का एक अच्छा उपाय है। हालांकि, उपज में बड़े बदलाव के लिए, अवधि माप प्रभावी नहीं है क्योंकि संबंध गैर-रैखिक है और एक वक्र है। अवधि के चार अलग-अलग प्रकार के उपाय हैं, अर्थात् मैकाले की अवधि, संशोधित अवधि, प्रभावी अवधि और कुंजी दर अवधि, जो सभी मापते हैं कि आंतरिक नकदी प्रवाह द्वारा बांड की कीमत का भुगतान करने में कितना समय लगता है। वे अलग-अलग हैं कि वे ब्याज दर में बदलाव, एम्बेडेड बॉन्ड विकल्प और बॉन्ड रिडेम्पशन विकल्पों का इलाज कैसे करते हैं। वे, हालांकि,मूल्य और उपज के बीच गैर-रैखिक संबंध को ध्यान में न रखें।
उत्तलता बांड की अवधि को बदलने की संवेदनशीलता को मापता है। ब्याज दरों में अधिक उतार-चढ़ाव के साथ बॉन्ड मूल्य में बदलाव के लिए उत्तलता एक अच्छा उपाय है। गणितीय रूप से बोलते हुए, उत्तलता ब्याज दरों में बदलाव और अवधि समीकरण के पहले व्युत्पन्न के साथ बांड की कीमतों में बदलाव के लिए सूत्र का दूसरा व्युत्पन्न है।
बॉन्ड उत्तलता सूत्र
उत्तल उदाहरण की गणना
8.0% के अर्ध-वार्षिक कूपन के साथ फेस वैल्यू USD1,000 के बॉन्ड के लिए और परिपक्वता के लिए 10% और 6 साल की उपज और 911.37 की वर्तमान कीमत, अवधि 4.82 वर्ष है, संशोधित अवधि 4.59 है, और उत्तलता के लिए गणना होगी:
वार्षिक उत्तलता: अर्ध-वार्षिक उत्तलता / ४ = २६.२६४३ अर्ध वार्षिक उत्तोलन: १०५.०५ :४
उपरोक्त उदाहरण में, 26.2643 की उत्तलता का उपयोग उपज में 1% परिवर्तन के लिए मूल्य परिवर्तन की भविष्यवाणी करने के लिए किया जा सकता है:
यदि केवल संशोधित अवधि का उपयोग किया जाता है:
मूल्य में परिवर्तन = - संशोधित अवधि * उपज में परिवर्तन
उपज में 1% वृद्धि के लिए मूल्य में परिवर्तन = (- 4.59 * 1%) = -4.59%
इसलिए कीमत में 41.83 की कमी आएगी
ग्राफ़ के उत्तल आकार को समायोजित करने के लिए, मूल्य सूत्र में परिवर्तन निम्नानुसार होता है:
मूल्य में परिवर्तन = ( - संशोधित अवधि * उपज में परिवर्तन ) + ( 1/2 * उत्तलता * (उपज में परिवर्तन) 2 )
उपज में 1% वृद्धि के लिए मूल्य में परिवर्तन = (-4.59 * 1%) + (1/2 * 26.2643 * 1%) = -4.46%
इसलिए कीमत 41.83 के बजाय केवल 40.64 घट जाएगी
इससे पता चलता है कि, उपज में समान 1% की वृद्धि के लिए, अनुमानित मूल्य में कमी तब होती है जब केवल अवधि का उपयोग तब किया जाता है जब मूल्य उपज वक्र की उत्तलता को समायोजित किया जाता है।
इसलिए संशोधित अवधि द्वारा अनुमानित उपज में 1% की वृद्धि की कीमत 869.54 है और बांड की संशोधित अवधि और उत्तलता का उपयोग करते हुए अनुमानित 870.74 है। मूल्य परिवर्तन में 1.12 का यह अंतर इस तथ्य के कारण है कि मूल्य उपज वक्र रैखिक नहीं है जैसा कि अवधि सूत्र द्वारा माना गया है।
उत्तल स्वीकृति फॉर्मूला
जैसा कि उत्तल गणना में देखा गया है, यह काफी थकाऊ और लंबा हो सकता है, विशेष रूप से एफ बांड दीर्घकालिक है और इसमें कई नकदी प्रवाह हैं। उत्तल सन्निकटन का सूत्र निम्नानुसार है:
उत्तलता और जोखिम प्रबंधन
जैसा कि सूत्र से देखा जा सकता है, Convexity बॉन्ड की कीमत, YTM (यील्ड से मैच्योरिटी), परिपक्वता का समय और नकदी प्रवाह का योग है। कूपन प्रवाह की संख्या (नकदी प्रवाह) की अवधि बदलती है और इसलिए बांड की उत्तलता होती है। एक शून्य बांड की अवधि परिपक्वता के समय के बराबर है, लेकिन जैसा कि अभी भी इसकी कीमत और उपज के बीच एक उत्तल संबंध मौजूद है, शून्य-कूपन बांड में उच्चतम उत्तलता होती है और इसकी कीमतें उपज में बदलाव के लिए सबसे संवेदनशील होती हैं।
उपरोक्त ग्राफ में, बॉन्ड ए बॉन्ड बी की तुलना में अधिक उत्तल है, भले ही वे दोनों एक ही अवधि के हों, और इसलिए बॉन्ड ए ब्याज दर में बदलाव से कम प्रभावित होता है।
उत्तलता एक जोखिम प्रबंधन उपकरण है जिसका उपयोग यह परिभाषित करने के लिए किया जाता है कि बांड कितना जोखिम भरा है; अधिक इसकी ब्याज दर आंदोलनों के प्रति संवेदनशीलता है। उच्च उत्तलता के साथ एक बंधन में एक बड़ा मूल्य परिवर्तन होता है जब ब्याज दर कम उत्तलता वाले बांड की तुलना में कम हो जाती है। इसलिए जब समान उपज और अवधि के साथ निवेश के लिए दो समान बांडों का मूल्यांकन किया जाता है, तो उच्च उत्तलता वाले व्यक्ति को स्थिर या गिरती ब्याज दरों के परिदृश्य में पसंद किया जाता है क्योंकि मूल्य परिवर्तन बड़ा होता है। गिरती ब्याज दर परिदृश्य में, एक उच्च उत्तलता बेहतर होगी क्योंकि ब्याज दरों में वृद्धि के लिए मूल्य हानि कम होगी।
पॉजिटिव और नेगेटिव कंफर्ट
उत्तलता सकारात्मक या नकारात्मक हो सकती है। एक बांड में सकारात्मक उत्तोलन होता है यदि उपज और बांड की अवधि एक साथ बढ़ती या घटती है, यानी, उनका सकारात्मक सहसंबंध होता है। इसके लिए उपज वक्र आमतौर पर ऊपर की ओर बढ़ता है। यह प्रकार एक बॉन्ड के लिए है जिसमें कॉल विकल्प या पूर्व भुगतान विकल्प नहीं है। जब उपज बढ़ती है, तो बांड की नकारात्मक उत्तलता होती है, अवधि कम हो जाती है, अर्थात, उपज और अवधि के बीच नकारात्मक सहसंबंध होता है, और उपज वक्र नीचे की ओर बढ़ता है। ये आम तौर पर कॉल विकल्प, बंधक-समर्थित प्रतिभूतियों और उन बांडों के साथ बांड होते हैं जिनके पास पुनर्भुगतान विकल्प होता है। यदि प्रीपेमेंट या कॉल ऑप्शन वाले बॉन्ड में शुरुआती निकास के लिए भुगतान किया जाने वाला प्रीमियम है, तो उत्तलता सकारात्मक हो सकती है।
कूपन भुगतान और बांड के भुगतान की आवधिकता बांड की उत्तलता में योगदान करती है। यदि बांड के जीवन पर अधिक आवधिक कूपन भुगतान होते हैं, तो उत्तलता अधिक होती है, जो ब्याज दर के जोखिमों के लिए अधिक प्रतिरक्षा बनाता है क्योंकि आवधिक भुगतान बाजार की ब्याज दरों में बदलाव के प्रभाव को नकारने में मदद करते हैं। यदि एकमुश्त भुगतान होता है, तो उत्तलता कम से कम है, जिससे यह अधिक जोखिम भरा निवेश है।
एक बॉन्ड पोर्टफोलियो का उत्कर्ष
एक बॉन्ड पोर्टफोलियो के लिए, उत्तलता एक साथ रखे गए सभी बॉन्डों के जोखिम को मापेगी और बिना बॉन्ड्स के भारित औसत या भार के रूप में उपयोग किए जा रहे बॉन्ड के बाजार मूल्य का औसत होगा।
भले ही Convexity मूल्य-उपज वक्र के गैर-रैखिक आकार को ध्यान में रखता है और मूल्य परिवर्तन के लिए भविष्यवाणी के लिए समायोजित करता है, अभी भी कुछ त्रुटि बाकी है क्योंकि यह मूल्य-उपज समीकरण का केवल दूसरा व्युत्पन्न है। उपज में बदलाव के लिए अधिक सटीक मूल्य प्राप्त करने के लिए, अगले व्युत्पन्न को जोड़ने से बांड की वास्तविक कीमत के बहुत करीब कीमत मिलेगी। आज परिष्कृत कंप्यूटर मॉडल की कीमतों की भविष्यवाणी करते हुए, उत्तलता बांड या बांड पोर्टफोलियो के जोखिम का एक उपाय है। बॉन्ड या बॉन्ड पोर्टफोलियो कम जोखिम भरा है; यह इसलिए है क्योंकि ब्याज दरों में कमी के लिए मूल्य परिवर्तन कम है। तो बॉन्ड, जो अधिक उत्तल है, कम जोखिम में बाजार की कीमतों के रूप में कम उपज होगा।
ब्याज दर जोखिम और उत्तलता
बॉन्ड के लिए जोखिम माप में कई जोखिम शामिल हैं। इनमें शामिल हैं, लेकिन इन तक सीमित नहीं हैं:
- बाजार जोखिम जो बाजार में ब्याज दर को लाभहीन तरीके से बदलता है
- पूर्वभुगतान जोखिम जो कि बांड है, परिपक्वता की तारीख से पहले चुकाया जाता है इसलिए नकदी प्रवाह को बाधित करता है
- डिफ़ॉल्ट जोखिम जो बांड जारीकर्ता है वह ब्याज या मूल राशि का भुगतान नहीं करेगा
ब्याज दर जोखिम सभी बॉन्डहोल्डर्स के लिए एक सार्वभौमिक जोखिम है क्योंकि ब्याज दर में वृद्धि से कीमतों में कमी आएगी, और ब्याज दर में कमी से बॉन्ड की कीमत में वृद्धि होगी। यह ब्याज दर जोखिम संशोधित अवधि द्वारा मापा जाता है और आगे उत्तलता द्वारा परिष्कृत किया जाता है। उत्तोलन प्रणालीगत जोखिम का एक उपाय है क्योंकि यह बॉन्ड पोर्टफोलियो मूल्य में परिवर्तन के प्रभाव को बाजार ब्याज दर में बड़े बदलाव के साथ मापता है जबकि संशोधित अवधि ब्याज दरों में छोटे बदलावों की भविष्यवाणी करने के लिए पर्याप्त है।
जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, नियमित बॉन्ड के लिए उत्तलता सकारात्मक है, लेकिन कॉल करने योग्य बॉन्ड, बंधक-समर्थित प्रतिभूतियों (जिसमें प्रीपेमेंट विकल्प है) जैसे विकल्पों के लिए बॉन्ड में प्रीपेमेंट जोखिम बढ़ने के साथ कम ब्याज दरों पर नकारात्मक उत्तलता होती है। नकारात्मक उत्तलता वाले ऐसे बॉन्ड के लिए, ब्याज दरों में कमी के साथ कीमतें बहुत अधिक नहीं बढ़ती हैं क्योंकि प्रीपेमेंट और शुरुआती कॉल के कारण नकदी प्रवाह में बदलाव होता है।
चूंकि नकदी प्रवाह अधिक फैला हुआ है, इसलिए नकदी प्रवाह के बीच अधिक अंतराल के साथ ब्याज दर जोखिम बढ़ने से उत्तलता बढ़ती है। तो एक माप के रूप में उत्तलता अधिक उपयोगी है यदि कूपन अधिक फैले हुए हैं और कम मूल्य के हैं। यदि हमारे पास एक शून्य-कूपन बांड और शून्य-कूपन बांड का एक पोर्टफोलियो है, तो उत्तलता इस प्रकार है:
- शून्य-कूपन बांड की अवधि जो इसकी परिपक्वता के बराबर है (क्योंकि इसमें केवल एक नकदी प्रवाह है) और इसलिए इसकी उत्तलता बहुत अधिक है
- जबकि शून्य-कूपन बांड पोर्टफोलियो की अवधि को पोर्टफोलियो के भीतर शून्य-कूपन बांड के नाममात्र और परिपक्वता मूल्य को अलग-अलग करके एक एकल शून्य-कूपन बांड के रूप में समायोजित किया जा सकता है। हालाँकि, इस पोर्टफोलियो का उत्कर्ष एकल शून्य-कूपन बॉन्ड से अधिक है। ऐसा इसलिए है क्योंकि पोर्टफोलियो में बॉन्ड का कैश फ्लो सिंगल जीरो-कूपन बॉन्ड की तुलना में अधिक फैला हुआ है।
पुट ऑप्शन के साथ बॉन्ड्स की समरूपता सकारात्मक होती है, जबकि कॉल ऑप्शन वाला बॉन्ड नकारात्मक होता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि जब कोई पुट विकल्प पैसे में होता है, तो यदि बाजार नीचे चला जाता है, तो आप बांड डाल सकते हैं, या यदि बाजार ऊपर जाता है, तो आप सभी नकदी प्रवाह को संरक्षित करते हैं। यह उत्तलता को सकारात्मक बनाता है। हालाँकि, या कॉल विकल्प के साथ एक बॉन्ड, जारीकर्ता बॉन्ड को कॉल करेगा यदि बाजार की ब्याज दर कम हो जाती है, और यदि बाजार दर में वृद्धि होती है, तो नकदी प्रवाह संरक्षित होगा। नकदी प्रवाह में संभावित परिवर्तन के कारण ब्याज दरों में कमी के रूप में बांड की उत्तलता नकारात्मक है।
बांड की मापा उत्तलता जब भविष्य के नकदी प्रवाह में अपेक्षित परिवर्तन नहीं होती है, तो इसे संशोधित उत्तलता कहा जाता है। जब भविष्य के नकदी प्रवाह में अपेक्षित परिवर्तन होते हैं, तो जिस शंकु की माप की जाती है वह प्रभावी उत्तलता होती है।
निष्कर्ष
मूल्य-उपज वक्र के आकार के कारण उत्तलता उत्पन्न होती है। यदि बाजार की उपज का ग्राफ सपाट था और कीमतों में सभी बदलाव समानांतर बदलाव थे, तो पोर्टफोलियो जितना अधिक होगा, वह उतना ही बेहतर प्रदर्शन करेगा, और मध्यस्थता के लिए कोई जगह नहीं होगी। हालांकि, जैसा कि पैदावार ग्राफ घुमावदार है, लंबी अवधि के बॉन्ड के लिए, बाद की अवधि में कम उत्तलता के लिए समायोजित करने के लिए मूल्य उपज वक्र कूबड़ के आकार का है।
अंत में, उत्तलता बांड या पोर्टफोलियो की ब्याज-दर संवेदनशीलता का एक उपाय है और इसका उपयोग निवेशक के जोखिम प्रोफाइल के आधार पर निवेश का मूल्यांकन करने के लिए किया जाना चाहिए।
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