कम से कम वर्ग के प्रतिगमन - सर्वश्रेष्ठ फ़िट की रेखा कैसे बनाएं?

कम से कम वर्ग प्रतिगमन विधि परिभाषा

कम से कम वर्ग प्रतिगमन विधि प्रतिगमन विश्लेषण का एक रूप है जो एक रैखिक रेखा के साथ-साथ आश्रित और स्वतंत्र चर के बीच संबंध स्थापित करता है। इस लाइन को "सबसे अच्छी फिट की रेखा" के रूप में जाना जाता है।

रिग्रेशन एनालिसिस एक सांख्यिकीय पद्धति है जिसकी सहायता से कोई एक चर के अज्ञात मूल्यों से दूसरे चर का अनुमान या अनुमान लगा सकता है। जिस चर का उपयोग चर हित की भविष्यवाणी करने के लिए किया जाता है उसे स्वतंत्र या व्याख्यात्मक चर कहा जाता है और जिस चर की भविष्यवाणी की जा रही है उसे आश्रित या व्याख्यायित चर कहा जाता है।

आइए हम दो चर, x & y पर विचार करें। ये एक ग्राफ पर y- अक्ष पर y के x- अक्ष मूल्यों पर x के मान के साथ प्लॉट किए जाते हैं। ये मान नीचे दिए गए ग्राफ़ में बिंदुओं द्वारा दर्शाए गए हैं। डॉट्स के माध्यम से एक सीधी रेखा खींची जाती है - सबसे अच्छी फिट की रेखा के रूप में संदर्भित की जाती है।

कम से कम वर्गों के प्रतिगमन का उद्देश्य यह सुनिश्चित करना है कि प्रदान किए गए मूल्यों के सेट के माध्यम से खींची गई रेखा मूल्यों के बीच निकटतम संबंध स्थापित करती है।

कम से कम वर्ग प्रतिगमन फॉर्मूला

निम्न वर्ग विधि के तहत प्रतिगमन रेखा की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है -

b = ए + बीएक्स

कहा पे,

• variable = आश्रित चर
• x = स्वतंत्र चर
• a = y- इंटरसेप्ट
• b = रेखा का ढलान

लाइन बी की ढलान की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है -

या

Y- इंटरसेप्ट, 'a' की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है -

लस्ट स्क्वायर रिग्रेशन में बेस्ट फिट की लाइन

सर्वश्रेष्ठ फिट की रेखा डेटा बिंदुओं के बिखराव के माध्यम से खींची जाने वाली एक सीधी रेखा है जो उनके बीच संबंधों का सबसे अच्छा प्रतिनिधित्व करती है।

आइए निम्नलिखित ग्राफ पर विचार करें जिसमें डेटा का एक सेट x और y- अक्ष के साथ प्लॉट किया गया है। ये डेटा बिंदु नीले डॉट्स का उपयोग करके दर्शाए गए हैं। इन बिंदुओं के माध्यम से तीन रेखाएँ खींची जाती हैं - एक हरी, एक लाल और एक नीली रेखा। हरी रेखा एकल बिंदु से होकर गुजरती है, और लाल रेखा तीन डेटा बिंदुओं से होकर गुजरती है। हालांकि, ब्लू लाइन चार डेटा बिंदुओं से होकर गुजरती है, और अन्य दो लाइनों की तुलना में ब्लू लाइन के अवशिष्ट बिंदुओं के बीच की दूरी न्यूनतम है।

उपरोक्त ग्राफ में, नीली रेखा सर्वश्रेष्ठ फिट की रेखा का प्रतिनिधित्व करती है क्योंकि यह सभी मूल्यों के सबसे करीब है और लाइन के बाहर के बिंदुओं के बीच की दूरी न्यूनतम है (यानी, अवशिष्ट के बीच की दूरी सर्वश्रेष्ठ फिट की रेखा के बीच की दूरी - इसे अवशिष्टों के वर्ग के रूप में भी जाना जाता है)। अन्य दो पंक्तियों में, नारंगी और हरे रंग की रेखाओं के बीच की दूरी नीले रंग की रेखा की तुलना में अधिक है।

कम से कम वर्ग विधि अवशिष्ट के बीच की दूरी को कम करके निर्भर और स्वतंत्र चर के बीच निकटतम संबंध प्रदान करती है, और सर्वोत्तम फिट की रेखा, अर्थात, इस दृष्टिकोण के तहत अवशिष्ट के वर्गों का योग न्यूनतम है। इसलिए शब्द "कम से कम वर्ग"।

कम से कम वर्गों का उदाहरण प्रतिगमन रेखा

आइये नीचे दिए गए प्रश्न में इन सूत्रों को लागू करते हैं -

उदाहरण 1

एक कंपनी में तकनीशियनों के अनुभव से संबंधित विवरण (कई वर्षों में) और उनके प्रदर्शन की रेटिंग नीचे दी गई तालिका में प्रदान की गई है। इन मूल्यों का उपयोग करते हुए, 20 वर्ष के अनुभव वाले तकनीशियन के लिए प्रदर्शन रेटिंग का अनुमान लगाएं।

तकनीशियन का अनुभव (वर्षों में)	निष्पादन मूल्यांकन
१६	87
१२	88
१।	89. है
४	६ 68
३	78
१०	80
५	.५
१२	83

उपाय -

सबसे कम वर्गों की गणना करने के लिए पहले हम Y- अवरोधन (a) और एक रेखा के ढलान (b) की गणना इस प्रकार करेंगे -

रेखा का ढलान (b)

• ख = 6727 - ((80 * 648) / 8 ) / 1018 - ((80) ² /8)
• = 247/218
• = 1.13

Y- अवरोधन (a)

• a = 648 - (1.13) (80) / 8
• = 69.7

प्रतिगमन रेखा की गणना निम्नानुसार की जाती है -

सूत्र में x के मान के लिए 20 को प्रतिस्थापित करना,

• b = ए + बीएक्स
• ŷ = 69.7 + (1.13) (20)
• .3 = 92.3

20 साल के अनुभव वाले एक तकनीशियन के लिए प्रदर्शन रेटिंग 92.3 होने का अनुमान है।

उदाहरण # 2

एक्सेल का उपयोग करके कम से कम वर्ग के प्रतिगमन समीकरण

निम्न चरणों द्वारा एक्सेल का उपयोग करके सबसे कम वर्ग के प्रतिगमन समीकरण की गणना की जा सकती है -

• एक्सेल में डेटा टेबल डालें।

• डेटा पॉइंट्स का उपयोग करके स्कैटर ग्राफ डालें।

• तितर बितर ग्राफ के भीतर एक ट्रेंडलाइन डालें।

• ट्रेंडलाइन विकल्पों के तहत - रैखिक ट्रेंडलाइन का चयन करें और चार्ट पर डिस्प्ले समीकरण का चयन करें।

• एक्सेल डेटा के दिए गए सेट के लिए सबसे कम-वर्ग प्रतिगमन समीकरण चार्ट पर प्रदर्शित होता है।

इस प्रकार, एक्सेल डेटा के दिए गए सेट के लिए न्यूनतम-वर्ग प्रतिगमन समीकरण की गणना की जाती है। समीकरण, भविष्यवाणियों और प्रवृत्ति विश्लेषण का उपयोग किया जा सकता है। एक्सेल उपकरण विस्तृत प्रतिगमन संगणना के लिए भी प्रदान करते हैं।

लाभ

• प्रतिगमन विश्लेषण का सबसे कम वर्ग विधि भविष्यवाणी मॉडल और प्रवृत्ति विश्लेषण के लिए सबसे उपयुक्त है। इसका उपयोग अर्थशास्त्र, वित्त और शेयर बाजारों के क्षेत्रों में किया जाता है, जिसमें भविष्य के किसी भी वैरिएबल के मूल्य की भविष्यवाणी मौजूदा वैरिएबल और उसी के बीच के रिश्ते की मदद से की जाती है।
• सबसे कम वर्ग विधि चर के बीच निकटतम संबंध प्रदान करती है। अवशिष्ट के वर्गों के योगों के बीच का अंतर इस विधि के तहत सबसे उपयुक्त है।
• अभिकलन तंत्र सरल और लागू करने में आसान है।

नुकसान

• सबसे कम वर्ग विधि किसी दिए गए सेट चर के बीच निकटतम संबंध स्थापित करने पर निर्भर करती है। अभिकलन तंत्र डेटा के प्रति संवेदनशील है, और किसी भी बाहरी (असाधारण डेटा) के मामले में, परिणाम प्रमुख रूप से प्रभावित हो सकते हैं।
• इस तरह की गणना रैखिक मॉडल के लिए सबसे उपयुक्त है। गैर-रेखीय समीकरणों के लिए, अधिक संपूर्ण संगणना तंत्र लागू किया जाता है।

निष्कर्ष

भविष्यवाणी मॉडल और प्रवृत्ति विश्लेषण के लिए कम से कम वर्ग विधि सबसे लोकप्रिय तरीकों में से एक है। जब उचित रूप से गणना की जाती है, तो यह सर्वोत्तम परिणाम देता है।