द्विपद वितरण सूत्र - कदम से कदम गणना - उदाहरण

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द्विपद वितरण की गणना करने का सूत्र

द्विपद वितरण की गणना करने का सूत्र

द्विपद वितरण सूत्र का उपयोग द्विपदीय प्रयोग के n परीक्षणों में x सफलताओं की संभावना की गणना करने के लिए किया जाता है जो स्वतंत्र हैं और संभाव्यता व्युत्पन्न परीक्षणों की संख्या और nCx द्वारा दर्शाई गई सफलताओं की संख्या के बीच संयोजन से प्राप्त होती है, जो कि जुटाई गई सफलता की संभावना से गुणा होती है। px द्वारा प्रतिनिधित्व की गई सफलताओं की संख्या की शक्ति जो कि सफलता की संख्या और 1 (p) nx द्वारा प्रतिनिधित्व किए गए परीक्षणों की संख्या के बीच अंतर की शक्ति के लिए उठाए गए विफलता की संभावना से कई गुना अधिक है।

एक द्विपद प्रयोग के n स्वतंत्र परीक्षणों में x सफलताओं को प्राप्त करने की संभावना द्विपद वितरण के निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी गई है:

पी (एक्स) = _एन सी _एक्स पी ^एक्स (1-पी) ^{एनएक्स}

जहां p सफलता की संभावना है

उपरोक्त समीकरण में, _n C _x का उपयोग किया जाता है, जो संयोजन सूत्र के अलावा और कुछ नहीं है। संयोजन की गणना करने का सूत्र _n C _x = n के रूप में दिया गया है ! / एक्स! (एनएक्स)! जहाँ n आइटमों की संख्या (स्वतंत्र परीक्षण) का प्रतिनिधित्व करता है, और x एक समय में चुनी गई वस्तुओं की संख्या (सफलताओं) का प्रतिनिधित्व करता है।

एक द्विपद वितरण में n = 1 के मामले में, वितरण को बर्नौली वितरण के रूप में जाना जाता है। द्विपद वितरण का मतलब है np। द्विपद वितरण का विचरण np (1-p) है।

द्विपद वितरण की गणना (चरण दर चरण)

द्विपद वितरण की गणना निम्नलिखित चार सरल चरणों का उपयोग करके की जा सकती है:

चरण 1: परीक्षणों की संख्या और सफलताओं की संख्या के बीच संयोजन की गणना करें। _N C _x का सूत्र वह जगह है जहाँ n है! = n * (n-1) * (n-2)… * 2 * 1। संख्या n के लिए, n का भाज्य n के रूप में लिखा जा सकता है! = n * (n-1)! उदाहरण के लिए, 5! 5 * 4 * 3 * 2 * 1 है
चरण 2: सफलता की संभावना की गणना करें जो कि सफलताओं की संख्या तक है जो कि पी ^{x हैं} ।
चरण 3: सफलताओं की संख्या और परीक्षणों की संख्या के बीच अंतर की शक्ति के लिए उठाए गए विफलता की संभावना की गणना करें। विफलता की संभावना 1-पी है। इस प्रकार, यह प्राप्त करने के लिए संदर्भित करता है (1-पी) ^{एनएक्स}
चरण 4: चरण 1, चरण 2 और चरण 3 में प्राप्त परिणामों के उत्पाद का पता लगाएं।

उदाहरण

उदाहरण 1

परीक्षणों की संख्या (n) 10 है। सफलता की संभावना (p) 0.5 है। बिलोमियल डिस्ट्रीब्यूशन की गणना छह सफलताओं की संभावना की गणना के लिए करें।

उपाय:

द्विपद वितरण की गणना के लिए निम्नलिखित आंकड़ों का उपयोग करें।

द्विपद वितरण की गणना निम्नानुसार की जा सकती है,

P (x = 6) = ₁₀ C ₆ * (0.5) ⁶ (1-0.5) ^10-6

= (१० /! ६! (१०-६)!) * ०.० ५६२५ * (०.५) ^४

= 210 * 0.015625 * 0.0625

6 सफलताओं की संभावना होगी-

पी (एक्स = 6) = 0.2051

ठीक 6 सफलताएं मिलने की संभावना 0.2051 है

उदाहरण # 2

एक बीमा कंपनी का प्रबंधक बीमा सेल्समैन द्वारा बेची गई बीमा पॉलिसियों के डेटा से गुजरता है। वह पाता है कि मोटर बीमा खरीदने वाले 80% लोग पुरुष हैं। वह यह पता लगाना चाहता है कि यदि 8 मोटर बीमा मालिकों को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है, तो क्या संभावना होगी कि उनमें से 5 पुरुष हैं।

समाधान: हमें पहले यह पता लगाना है कि n, p और x क्या हैं।

द्विपद वितरण की गणना निम्नानुसार की जा सकती है,

P (x = 5) = ₈ C ₅ * (0.8) ⁵ (1-0.8) ^8-5

= (8! / 5! (8-5)!) * 0.32768 * (0.2) ³

= 56 * 0.32768 * 0.008

5 सफलताओं की संभावना होगी-

पी (एक्स = 5) = 0.14680064

ठीक 5 मोटर बीमा मालिकों के पुरुषों के होने की संभावना 0.14680064 है।

उदाहरण # 3

अस्पताल प्रबंधन कैंसर रोगियों के इलाज के लिए एक नई दवा शुरू करने के बारे में उत्साहित है क्योंकि किसी व्यक्ति का सफलतापूर्वक इलाज करने का मौका बहुत अधिक है। एक मरीज को दवा द्वारा सफलतापूर्वक इलाज की संभावना 0.8 है। 10 मरीजों को दवा दी जाती है। इसके द्वारा सफलतापूर्वक इलाज किए जा रहे 9 या अधिक रोगियों की संभावना का पता लगाएं।

समाधान: हमें पहले यह पता लगाना है कि n, p और x क्या है।

हमें 9 या अधिक रोगियों की संभावना का सफलतापूर्वक पता लगाना होगा। इस प्रकार, 9 या 10 रोगियों का सफलतापूर्वक उपचार किया जाता है

x (एक संख्या जिसके लिए आपको प्रायिकता ज्ञात करनी है) = 9 या x = 10

हमें P (9) और P (10) ढूंढना होगा

पी (एक्स = 9) खोजने के लिए द्विपद वितरण की गणना निम्नानुसार की जा सकती है,

P (x = 9) = ₁₀ C ₉ * (0.8) ⁹ (1-0.8) ^10-9

= (10 /! 9! (10-9)!) * 0.134217728 * (0.2) ¹

= 10 * 0.134217728 * 0.2

9 मरीजों की संभावना होगी-

पी (एक्स = 9) = 0.2684

P (x = 10) खोजने के लिए द्विपद वितरण की गणना निम्नानुसार की जा सकती है,

P (x = 10) = ₁₀ C ₁₀ * (0.8) ¹⁰ (1-0.8) ^10-10

= (१०! / १०! (१०-१०)!) * ०.१०18३18४१ *२ * (०.२) ^०

= 1 * 0.107374182 * 1

10 मरीजों की संभावना होगी-

पी (एक्स = 10) = 0.1074

इसलिए, P (x = 9) + P (x = 10) = 0.268 + 0.1074

= 0.3758

इस प्रकार, दवा द्वारा 9 या अधिक रोगियों के इलाज की संभावना 0.375809638 है।

द्विपद वितरण कैलकुलेटर

आप निम्नलिखित द्विपद वितरण कैलकुलेटर का उपयोग कर सकते हैं।

एन
पी
एक्स
द्विपद वितरण सूत्र =

द्विपद वितरण सूत्र =	_n C _x * p ^x * (1 -p) ^nx
	₀ सी ₀ * 0 ⁰ * (1-0) ^0-0 =	०

प्रासंगिकता और उपयोग

केवल दो परिणाम हैं
प्रत्येक परिणाम की संभावना परीक्षण से परीक्षण तक स्थिर रहती है
परीक्षणों की एक निश्चित संख्या है
प्रत्येक परीक्षण स्वतंत्र है, अर्थात्, दूसरों के परस्पर अनन्य
यह हमें दिए गए परीक्षणों में सफल परिणामों की संभावित संख्या के आवृत्ति वितरण के साथ प्रदान करता है जहां इन दिए गए परीक्षणों में से प्रत्येक में सफलता की समान संभावना है।
एक द्विपद प्रयोग में प्रत्येक परीक्षण के परिणामस्वरूप केवल दो संभावित परिणाम हो सकते हैं। इसलिए, नाम 'द्विपद' है। इनमें से एक परिणाम को सफलता के रूप में और दूसरे को असफलता के रूप में जाना जाता है। उदाहरण के लिए, जो लोग बीमार हैं, वे उपचार का जवाब दे सकते हैं या नहीं।
इसी तरह, जब हम एक सिक्का उछालते हैं, तो हमारे पास केवल दो प्रकार के परिणाम हो सकते हैं: सिर या पूंछ। द्विपद वितरण आँकड़ों में प्रयुक्त एक असतत वितरण है, जो एक सतत वितरण से भिन्न होता है।

द्विपद प्रयोग का एक उदाहरण एक सिक्का उछालना है, तीन बार कहें। जब हम एक सिक्का फ्लिप करते हैं, तो केवल दो परिणाम संभव होते हैं - सिर और पूंछ। प्रत्येक परिणाम की संभावना 0.5 है। चूँकि सिक्के को तीन बार उछाला जाता है, इसलिए परीक्षणों की संख्या निश्चित है, 3. यह है कि प्रत्येक टॉस की संभावना अन्य टॉस से प्रभावित नहीं होती है।

द्विपद वितरण सामाजिक विज्ञान के आँकड़ों में इसके अनुप्रयोग पाता है। यह द्विभाजित परिणाम चर के लिए विकासशील मॉडल के लिए उपयोग किया जाता है जहां दो परिणाम हैं। इसका एक उदाहरण है कि क्या रिपब्लिकन या डेमोक्रेट चुनाव जीतेंगे।

एक्सेल में द्विपद वितरण सूत्र (एक्सेल टेम्पलेट के साथ)

सौरभ ने स्कूल में द्विपद वितरण समीकरण के बारे में जाना। वह अपनी बहन के साथ अवधारणा पर चर्चा करना चाहता है और उसके साथ एक शर्त रखता है। उसने सोचा कि वह दस बार एक निष्पक्ष सिक्के को उछाल देगा। वह 10 टॉइस में ठीक पाँच टेल पाने पर $ 100 का दांव लगाना चाहता है। इस शर्त के लिए, वह 10 tosses में पांच पूंछ प्राप्त करने की संभावना की गणना करना चाहता है।

समाधान: हमें पहले यह पता लगाना है कि n, p और x क्या है।

द्विपद वितरण के लिए एक इनबिल्ट फार्मूला एक्सेल है, जो है

यह BINOM.DIST है (सफलताओं की संख्या, परीक्षण, सफलता की संभावना, FALSE)।

द्विपद वितरण के इस उदाहरण के लिए होगा:

= BINOM.DIST (B2, B3, B4, FALSE) जहां सेल B2 सफलताओं की संख्या का प्रतिनिधित्व करता है, सेल B3 परीक्षणों की संख्या का प्रतिनिधित्व करता है, और सेल B4 सफलता की संभावना का प्रतिनिधित्व करता है।

इसलिए, द्विपद वितरण की गणना होगी-

पी (एक्स = 5) = 0.24609375

10 टॉस में ठीक 5 टेल मिलने की संभावना 0.24609375 है

नोट: उपरोक्त सूत्र में FALSE प्रायिकता द्रव्यमान फ़ंक्शन को दर्शाता है। यह n स्वतंत्र परीक्षणों से वास्तव में n सफलताओं के होने की संभावना की गणना करता है। TRUE संचयी वितरण फ़ंक्शन को दर्शाता है। यह n स्वतंत्र परीक्षणों से अधिकांश x सफलताओं पर होने की संभावना की गणना करता है।