हाइपरजोमेट्रिक डिस्ट्रिब्यूशन परिभाषा;
आँकड़ों और संभाव्यता सिद्धांत में, हाइपरजोमेट्रिक वितरण मूल रूप से एक अलग संभाव्यता वितरण है जो k की सफलताओं की संभावना को परिभाषित करता है (यानी किसी ऑब्जेक्ट के लिए कुछ यादृच्छिक ड्रॉ जिसमें कुछ निर्दिष्ट विशेषता होती है) किसी भी प्रतिस्थापन के बिना, किसी भी प्रतिस्थापन के बिना ड्रा में जनसंख्या का आकार N, जिसमें सटीक K ऑब्जेक्ट्स शामिल हैं, जिसमें वह विशेषता है, जहां ड्रॉ सफल हो सकता है या विफल हो सकता है।
हाइपरजोमेट्रिक वितरण की संभावना का सूत्र जनसंख्या में कई वस्तुओं, नमूने में वस्तुओं की संख्या, जनसंख्या में सफलताओं की संख्या, नमूने में सफलताओं की संख्या और कुछ संयोजनों का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है। गणितीय रूप से, संभावना का प्रतिनिधित्व किया जाता है,
पी = के सी के * (एन - के) सी (एन - के) / एन सी एन
कहां है,
- जनसंख्या में N = वस्तुओं की संख्या
- n = नमूने में वस्तुओं की संख्या
- K = जनसंख्या में सफलताओं की संख्या
- k = नमूने में सफलताओं की संख्या
हाइपरजोमेट्रिक वितरण का माध्य और मानक विचलन निम्नानुसार व्यक्त किया जाता है:
माध्य = n * K / N मानक विचलन = (n * K * (N - K) * (N - n) / (N 2 * (N - 1)) 1/2स्पष्टीकरण
चरण 1: सबसे पहले, आबादी में वस्तुओं की कुल संख्या निर्धारित करें, जिसे एन द्वारा दर्शाया गया है। उदाहरण के लिए, एक डेक में ताश खेलने की संख्या 52 है।
चरण 2: अगला, नमूने में आइटमों की संख्या निर्धारित करें, उदाहरण के लिए एन-उदाहरण के लिए, डेक से निकाले गए कार्ड की संख्या।
चरण 3: अगला, उन उदाहरणों को निर्धारित करें जिन्हें आबादी में सफल माना जाएगा, और यह के। द्वारा निरूपित किया जाता है, उदाहरण के लिए, समग्र डेक में दिलों की संख्या, जो 13 है।
चरण 4: अगला, उन उदाहरणों को निर्धारित करें, जिन्हें तैयार किए गए नमूने में सफल माना जाएगा, और इसे k द्वारा दर्शाया गया है। जैसे, डेक से खींचे गए कार्डों में दिलों की संख्या।
चरण 5: अंत में, जनसंख्या में कई वस्तुओं (चरण 1), नमूने में वस्तुओं की संख्या (चरण 2), जनसंख्या में सफलताओं की संख्या (चरण 3) का उपयोग करके हाइपरजेट्रिक वितरण की संभावना का सूत्र प्राप्त होता है। और नमूने में सफलताओं की संख्या (चरण 4) जैसा कि नीचे दिखाया गया है।
पी = के सी के * (एन - के) सी (एन - के) / एन सी एनहाइपरजोमेट्रिक वितरण के उदाहरण (एक्सेल टेम्पलेट के साथ)
उदाहरण 1
आइए हम ताश के पत्तों के एक साधारण डेक का उदाहरण लेते हैं जहां 6 कार्ड बिना प्रतिस्थापन के यादृच्छिक रूप से तैयार किए जाते हैं। वास्तव में 4 लाल सूट कार्ड, यानी हीरे या दिलों को खींचने की संभावना निर्धारित करें।
- दिया गया, N = 52 (चूंकि साधारण प्लेइंग डेक में 52 कार्ड हैं)
- n = 6 (डेक से रैंडमली कार्ड की संख्या)
- K = 26 (चूंकि हीरे और दिल के सूट में प्रत्येक में 13 लाल कार्ड हैं)
- k = 4 (आरेखित नमूने में सफल माने जाने वाले लाल कार्डों की संख्या)
उपाय:
इसलिए, तैयार किए गए 6 कार्डों में वास्तव में 4 लाल सूट कार्ड खींचने की संभावना की गणना उपरोक्त सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है,
संभाव्यता = के सी के * (एन - के) सी (एन - के) / एन सी एन
= 26 सी 4 * (52 - 26) सी (6 - 4) / 52 सी 6
= 26 सी 4 * 26 सी 2 / 52 सी 6
= 14950 * 325/20358520
संभावना होगी -
संभाव्यता = 0.2387 ~ 23.87%
इसलिए, एक साधारण डेक से 6 यादृच्छिक कार्ड ड्राइंग करते समय वास्तव में 4 लाल कार्ड खींचने की 23.87% संभावना है।
उदाहरण # 2
आइए हम एक ऐसे बटुए का दूसरा उदाहरण लेते हैं जिसमें 5 $ 100 बिल और 7 $ 1 बिल शामिल हैं। यदि 4 बिलों को रैंडम तरीके से चुना जाता है, तो ठीक 3 $ 100 बिल चुनने की संभावना निर्धारित करें।
- दिया गया, N = 12 ($ 100 बिलों की संख्या + $ 1 बिलों की संख्या)
- n = 4 (यादृच्छिक रूप से चुने गए बिलों की संख्या)
- K = 5 (चूंकि 5 $ 100 बिल हैं)
- k = 3 (चुने गए नमूने में सफलता के लिए $ 100 बिलों की संख्या)
उपाय:
इसलिए, बेतरतीब ढंग से चुने गए 4 बिलों में बिलकुल $ 3 100 बिल चुनने की संभावना की गणना उपरोक्त सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है,
संभाव्यता = के सी के * (एन - के) सी (एन - के) / एन सी एन
= 5 सी 3 * (12 - 5) सी (4 - 3) / 12 सी 4
= 5 सी 3 * 7 सी 1 / 12 सी 4
= 10 * 7/495
संभावना होगी -
संभाव्यता = 0.1414 ~ 14.14%
इसलिए, 4 रैंडम बिल बनाते समय बिलकुल 3 $ 100 बिल चुनने की 14.14% संभावना है।
प्रासंगिकता और उपयोग
हाइपरजोमेट्रिक वितरण की अवधारणा महत्वपूर्ण है क्योंकि यह संभावनाओं को निर्धारित करने का एक सटीक तरीका प्रदान करता है जब परीक्षणों की संख्या बहुत बड़ी संख्या नहीं होती है और यह कि नमूने प्रतिस्थापन के बिना परिमित आबादी से लिए जाते हैं। वास्तव में, हाइपरजोमेट्रिक वितरण द्विपद वितरण के अनुरूप है, जिसका उपयोग तब किया जाता है जब परीक्षणों की संख्या काफी बड़ी होती है। हालांकि, हाइपरजोमेट्रिक वितरण मुख्य रूप से प्रतिस्थापन के बिना नमूने के लिए उपयोग किया जाता है।
