यूलर टोटिएंट फंक्शन - अर्थ, उदाहरण, गणना कैसे करें?

क्या है यूलर टॉटिएंट फंक्शन?

यूलर के टोटिएंट फ़ंक्शन गणितीय गुणात्मक फ़ंक्शन हैं जो दिए गए पूर्णांक तक सकारात्मक पूर्णांक को गिनते हैं जिन्हें आमतौर पर 'एन' कहा जाता है जो कि 'एन' के लिए एक प्रमुख संख्या है और फ़ंक्शन का उपयोग उन प्रमुख संख्याओं की संख्या जानने के लिए किया जाता है जो मौजूद हैं पूर्णांक 'n'।

स्पष्टीकरण

यह जानने के लिए कि दिए गए पूर्णांक 'n' यूलर के टोटिएंट फंक्शन में कितने प्राइम नंबर आ रहे हैं। इसे अंकगणितीय कार्य भी कहा जाता है। एक आवेदन या यूलर टोटिएंट फ़ंक्शन के उपयोग के लिए, दो चीजें महत्वपूर्ण हैं। एक यह है कि दिए गए पूर्णांक 'n' से बनने वाली gcd एक दूसरे से गुणक होनी चाहिए, और दूसरी यह है कि gcd की संख्या केवल अभाज्य संख्याएँ होनी चाहिए। इस मामले में पूर्णांक 'एन' 1 से अधिक होना चाहिए। एक नकारात्मक पूर्णांक से, यूलर के टोटल फ़ंक्शन की गणना करना संभव नहीं है। इस मामले में, सिद्धांत यह है कि, (n) के लिए, m और n नामक गुणक 1. से अधिक होना चाहिए। इसलिए 1 से इनकार करें

इतिहास

यूलर ने 1763 में इस समारोह की शुरुआत की। प्रारंभ में, यूलर ने फ़ंक्शन के डिनोटेशन के लिए ग्रीक in का उपयोग किया, लेकिन कुछ मुद्दों के कारण, ग्रीक के some के उनके डिपोशन को मान्यता नहीं मिली। और वह इसे उचित अंकन संकेत देने में असफल रहा, यानी it। इसलिए फ़ंक्शन को पेश नहीं किया जा सकता है। इसके अलावा, s को गॉस के 1801 डिस्चार्जमेंट्स एरिथमेटिका से लिया गया था। फ़ंक्शन को फ़ि फ़ंक्शन भी कहा जाता है। लेकिन जे जे सिल्वेस्टर ने 1879 में इस फ़ंक्शन के लिए गुण और कार्यों के उपयोग के कारण शब्द को शामिल किया। दिए गए विभिन्न प्रकार के पूर्णांकों से निपटने के लिए अलग-अलग नियम बनाए गए हैं जैसे कि यदि पूर्णांक एक अभाज्य संख्या है, तो किस नियम को लागू किया जाना है, आदि सभी नियम यूलर द्वारा तैयार किए गए हैं, व्यावहारिक हैं और आज भी उपयोग किए जा सकते हैं। वही।

आयलर के टोटके फंक्शन के गुण

कुछ अलग गुण हैं। यूलर के कुल समारोह के कुछ गुण निम्नानुसार हैं:

• Used प्रतीक का उपयोग फ़ंक्शन को दर्शाने के लिए किया जाता है।
• फ़ंक्शन प्रमुख संख्याओं के सिद्धांत से संबंधित है।
• फ़ंक्शन केवल सकारात्मक पूर्णांक के मामले में लागू होता है।
• For (n) के लिए, फ़ंक्शन की गणना करने के लिए दो गुणक अभाज्य संख्याएँ पाई जानी हैं।
• फ़ंक्शन एक गणितीय फ़ंक्शन है और कई मायनों में उपयोगी है।
• यदि पूर्णांक 'n' एक अभाज्य संख्या है, तो gcd (m, n) = 1
• फ़ंक्शन सूत्र 1 <m <n पर कार्य करता है जहां m और n अभाज्य संख्या और गुणक संख्याएँ हैं।
• सामान्य तौर पर, समीकरण है

) (Mn) = ϕ (m) * n (n) (1- 1 / m) (1 - 1 / n)

• फ़ंक्शन मूल रूप से दिए गए पूर्णांक से कम सकारात्मक पूर्णांक की संख्या को गिनता है, जो कि दिए गए पूर्णांक के लिए अपेक्षाकृत प्रमुख संख्या है।
• यदि दिया गया पूर्णांक p अभाज्य है तो ϕ (p) = p - 1
• यदि p की शक्ति प्रधान है, तो a = p ⁿ एक प्रमुख शक्ति है तो is (p ⁿ ) = p ⁿ - p ^(n-1)
• not (n) एक नहीं - एक है
• ϕ (n) पर नहीं है।
• n (n), n> 3 हमेशा सम होता है।
• ) (10 ^एन ) = 4 * 10 ^{एन -1}

यूलर के टोटिएंट फ़ंक्शन की गणना करें

उदाहरण 1

Calcul (7) की गणना करें?

उपाय:

= (7) = (1,2,3,4,5,6) = 6

चूँकि सभी संख्याएँ 7 हैं, इसलिए इसने the की गणना करना आसान बना दिया।

उदाहरण # 2

Calcul (100) की गणना करें?

उपाय:

चूंकि 100 बड़ी संख्या है इसलिए 1 से 100 तक की गणना करने में समय लगता है जो कि प्रमुख संख्या हैं जो 100 के साथ अभाज्य संख्या हैं। इसलिए हम निम्न सूत्र लागू करते हैं:

• = (100) = ϕ (m) * n (n) (1- 1 / m) (1 - 1 / n)
• = (100) = 2 ² * 2 ⁵
• = (100) = 2 ² * 2 ⁵ * (1 - 1/2) * (1 - 1/5)
• = 100 * 1/2 * 4/5
• = ४०

उदाहरण # 3

गणना Calcul (240)?

240 के गुणक 16 * 5 * 3 अर्थात 2 ⁴ * 5 * 3 हैं

• = (240) = ϕ (m) * n (n) (1- 1 / m) (1 - 1 / n)
• = (240) = 2 ⁴ * 5 * 3

अगर n ^M अभाज्य संख्या नहीं है तो हम n ^m - n ^{m-1 का उपयोग करते हैं}

• = (2 ⁴ - 2 ^(4-1) ) * (5 ¹ - 5 ^(1-1) ) * (3 ¹ - 3 ^(1-1) )
• = (२ ^४ - २ ^३ ) * (५ - १) * (३ - १)
• = 64

उदाहरण # 4

गणना 49 (49)?

• = (49) = ϕ (एम) * n (एन) (1- 1 / एम) (1 - 1 / एन)
• = (49) = ϕ (7) * 7 (7)
• = (7 ¹ - 7 ^(1-1) ) * (7 ¹ - 7 ^(1-1) )
• = (7-1) * (7-1)
• = ६ * ६
• = 36

अनुप्रयोग

विभिन्न अनुप्रयोग निम्नानुसार हैं:

• फ़ंक्शन का उपयोग इंटरनेट सुरक्षा एन्क्रिप्शन के लिए उपयोग किए जाने वाले आरएसए एन्क्रिप्शन सिस्टम को परिभाषित करने के लिए किया जाता है।
• अभाज्य संख्या सिद्धांत में प्रयुक्त।
• बड़ी गणना में भी इस्तेमाल किया।
• प्राथमिक संख्या सिद्धांत के अनुप्रयोगों में उपयोग किया जाता है।

निष्कर्ष

यूलर का फंक्शनिएंट फंक्शन कई मायनों में उपयोगी है। इसका उपयोग RSA एन्क्रिप्शन सिस्टम में किया जाता है, जिसका उपयोग सुरक्षा उद्देश्यों के लिए किया जाता है। फ़ंक्शन प्रमुख संख्या सिद्धांत से संबंधित है, और यह बड़ी गणनाओं की गणना में भी उपयोगी है। फ़ंक्शन का उपयोग बीजीय गणना और प्रारंभिक संख्याओं में भी किया जाता है। फ़ंक्शन को निरूपित करने के लिए उपयोग किया जाने वाला प्रतीक ϕ है, और इसे फी फ़ंक्शन भी कहा जाता है। फ़ंक्शन में व्यावहारिक उपयोग के बजाय अधिक सैद्धांतिक उपयोग होता है। फ़ंक्शन का व्यावहारिक उपयोग सीमित है। फ़ंक्शन को केवल सैद्धांतिक स्पष्टीकरण के बजाय विभिन्न व्यावहारिक उदाहरणों के माध्यम से बेहतर ढंग से समझा जा सकता है। यूलर के कुल कार्य की गणना के लिए विभिन्न नियम हैं, और विभिन्न संख्याओं के लिए, विभिन्न नियमों को लागू किया जाना है। यह समारोह पहली बार 1763 में शुरू किया गया था, लेकिन कुछ मुद्दों के कारण,इसे 1784 में मान्यता मिली, और 1879 में नाम को संशोधित किया गया। समारोह एक सार्वभौमिक कार्य है और इसे हर जगह लागू किया जा सकता है।