मानक सामान्य वितरण की गणना करने का सूत्र
मानक सामान्य वितरण एक प्रकार की संभाव्यता वितरण है जो औसत या माध्य के बारे में सममित है, यह दर्शाता है कि औसत या माध्य से दूर होने वाले डेटा की तुलना में औसत या माध्य के पास डेटा अधिक बार हो रहा है। मानक सामान्य वितरण पर एक अंक को "जेड-स्कोर" कहा जा सकता है।
मानक सामान्य वितरण फॉर्मूला नीचे दिया गया है:
जेड - स्कोर = (एक्स - µ) / X
कहा पे,
- X एक सामान्य यादृच्छिक चर है
- or औसत या माध्य है
- dev मानक विचलन है
फिर हमें उपरोक्त तालिका से संभावना प्राप्त करने की आवश्यकता है।
स्पष्टीकरण
Z- वितरण के रूप में संदर्भित क्रम शब्दों में मानक सामान्य वितरण में निम्नलिखित गुण हैं:
- इसका एक औसत है या शून्य का मतलब कहता है।
- इसमें एक मानक विचलन है, जो 1 के बराबर है।
मानक सामान्य तालिका का उपयोग करके, हम घनत्व वक्र के तहत क्षेत्रों का पता लगा सकते हैं। जेड-स्कोर मानक सामान्य वितरण पर व्यथित है और इसकी व्याख्या मानक विचलन की संख्या के रूप में की जानी चाहिए जहां डेटा बिंदु औसत या औसत से नीचे या ऊपर है।
एक नकारात्मक जेड-स्कोर एक ऐसे स्कोर का संकेत देगा जो औसत या औसत से नीचे है, जबकि एक सकारात्मक जेड-स्कोर इंगित करेगा कि डेटा बिंदु औसत या औसत से ऊपर है।
मानक सामान्य वितरण 68-95-99.70 नियम का पालन करता है, जिसे अनुभवजन्य नियम भी कहा जाता है, और उसके अनुसार दिए गए डेटा का अड़सठ प्रतिशत या मान औसत या औसत के 1 मानक विचलन के भीतर गिर जाएगा, जबकि निन्यानबे प्रतिशत 2 मानक विचलन के भीतर गिर जाएगा, और अंत में, निन्यानबे दशमलव सात प्रतिशत मूल्य या डेटा औसत या औसत के 3 मानक विचलन के भीतर गिर जाएगा।
उदाहरण
उदाहरण 1
850, मानक विचलन, जैसे कि आपको दिए गए अर्थ पर विचार करें। आपको 940 से ऊपर के स्कोर के लिए मानक सामान्य वितरण की गणना करने की आवश्यकता है।
उपाय:
मानक सामान्य वितरण की गणना के लिए निम्न डेटा का उपयोग करें।
तो, z स्कोर की गणना निम्नानुसार की जा सकती है-
जेड - स्कोर = (एक्स - µ) / X
= (940 - 850) / 100
Z स्कोर होगा -
जेड स्कोर = 0.90
अब मानक सामान्य वितरण की उपरोक्त तालिका का उपयोग करते हुए, हमारे पास 0.8909 के रूप में 0.90 का मान है, और हमें ऊपर दिए गए स्कोर की गणना करने की आवश्यकता है जो कि P (Z> 0.90) है।
हमें टेबल के लिए सही रास्ता चाहिए। इसलिए, संभावना 1 - 0.8159 होगी, जो 0.1841 के बराबर है।
इस प्रकार, स्कोर का केवल 18.41% 940 से ऊपर है।
उदाहरण # 2
सुनीता गणित विषयों के लिए निजी ट्यूशन कक्षाएं लेती हैं, और वर्तमान में, उनके पास लगभग 100 छात्र हैं। अपने छात्रों के लिए ली गई 1 सेंट की परीक्षा के बाद , उन्हें निम्न औसत नंबर मिले, उनके द्वारा स्कोर किया गया और उन्हें प्रतिशत-वार रैंक दिया गया।
उपाय:
सबसे पहले, हम साजिश करते हैं कि हम क्या लक्ष्य कर रहे हैं, जो इलाज के बाईं ओर है। पी (जेड <75)।
मानक सामान्य वितरण की गणना के लिए निम्न डेटा का उपयोग करें।
उसके लिए, हमें पहले माध्य और मानक विचलन की गणना करने की आवश्यकता है।
माध्य की गणना निम्नानुसार की जा सकती है-
माध्य = (98 + 40 + 55 + 77 + 76 + 80 + 85 + 82 + 65 + 77) / 10
मतलब = 73.50
मानक विचलन की गणना निम्नानुसार की जा सकती है-
मानक विचलन = dev (∑ (x - x) / (n-1))
मानक विचलन = 16.38
तो, z स्कोर की गणना निम्नानुसार की जा सकती है-
जेड - स्कोर = (एक्स - µ) / X
= (75 - 73.50) / 16.38
Z स्कोर होगा -
जेड स्कोर = 0.09
अब मानक सामान्य वितरण की उपरोक्त तालिका का उपयोग करते हुए, हमारे पास 0.09 का मान 0.5359 है और यह P (Z <0.09) का मान है।
इसलिए 53.59% छात्रों ने 75 से नीचे स्कोर किया।
उदाहरण # 3
विस्टा लिमिटेड एक इलेक्ट्रॉनिक उपकरण शोरूम है। यह अपने उपभोक्ता व्यवहार का विश्लेषण करना चाहता है। शहर के आसपास इसके लगभग 10,000 ग्राहक हैं। अपनी दुकान पर आने पर औसतन ग्राहक 25,000 खर्च करता है। हालाँकि, खर्च में काफी भिन्नता है क्योंकि ग्राहक 22,000 से 30,000 तक खर्च करते हैं और 10,000 से अधिक ग्राहकों के बीच इस बदलाव का औसत है कि विस्टा लिमिटेड का प्रबंधन लगभग 500 के आसपास आ गया है।
विस्टा लिमिटेड के प्रबंधन ने आपसे संपर्क किया है, और उन्हें यह जानने में दिलचस्पी है कि उनके ग्राहकों का अनुपात 26,000 से अधिक क्या है? मान लें कि ग्राहक के खर्च के आंकड़े आम तौर पर वितरित किए जाते हैं।
उपाय:
सबसे पहले, हम साजिश करते हैं कि हम क्या लक्ष्य कर रहे हैं, जो इलाज के बाईं ओर है। पी (जेड> 26000)।
मानक सामान्य वितरण की गणना के लिए निम्न डेटा का उपयोग करें।
Z स्कोर की गणना निम्नानुसार की जा सकती है-
जेड - स्कोर = (एक्स - µ) / X
= (26000 - 25000) / 500
Z स्कोर होगा-
जेड स्कोर = २
मानक सामान्य वितरण की गणना निम्नानुसार की जा सकती है-
मानक सामान्य वितरण होगा-
अब मानक सामान्य वितरण की उपरोक्त तालिका का उपयोग करते हुए, हमारे पास 2.00 के लिए एक मान है, जो 0.9772 है, और अब हमें P (Z> 2) के लिए गणना करने की आवश्यकता है।
हमें टेबल के लिए सही रास्ता चाहिए। इसलिए, संभावना 1 - 0.9772 होगी, जो 0.0228 के बराबर है।
3. 2.28% उपभोक्ता 26000 से ऊपर खर्च करते हैं।
प्रासंगिकता और उपयोग
एक सूचित और एक उचित निर्णय लेने के लिए, किसी को सभी अंकों को समान पैमाने पर बदलना होगा। एक को उन अंकों को मानकीकृत करने की आवश्यकता है, उन सभी को Z मानक विधि का उपयोग करके मानक सामान्य वितरण में परिवर्तित करना, एक एकल मानक विचलन और एक औसत या माध्य के साथ। प्रमुख रूप से इसका उपयोग सांख्यिकी के क्षेत्र में और वित्त के क्षेत्र में भी किया जाता है।
कई सांख्यिकीय सिद्धांतों ने मुख्य धारणा के तहत परिसंपत्ति (वित्त के क्षेत्रों में) की कीमतों को मॉडल करने का प्रयास किया है कि वे इस तरह के सामान्य वितरण का पालन करेंगे। मूल्य वितरण में ज्यादातर टेटर टेल होते हैं और इसलिए इनमें कर्टोसिस होता है, जो वास्तविक जीवन के परिदृश्यों में 3 से अधिक होता है। ऐसी परिसंपत्तियों को मूल्य आंदोलनों के लिए देखा गया है जो औसत या औसत से परे 3 मानक विचलन से अधिक है और सामान्य वितरण में अपेक्षित धारणा से अधिक है।
