प्रतिगमन की गणना करने का सूत्र
प्रतिगमन सूत्र का उपयोग निर्भर और स्वतंत्र चर के बीच संबंधों का आकलन करने के लिए किया जाता है और यह पता लगाता है कि यह स्वतंत्र चर के परिवर्तन पर निर्भर चर को कैसे प्रभावित करता है और समीकरण Y द्वारा दर्शाया गया है aX प्लस b के बराबर है जहां Y आश्रित चर है, a ढलान है प्रतिगमन समीकरण की, x स्वतंत्र चर है और b स्थिर है।
प्रतिगमन विश्लेषण ने एक या अधिक स्वतंत्र चर और आश्रित चर के बीच संबंधों का अनुमान लगाने के लिए सांख्यिकीय तरीकों का व्यापक रूप से उपयोग किया। प्रतिगमन एक शक्तिशाली उपकरण है क्योंकि इसका उपयोग दो या अधिक चर के बीच संबंधों की ताकत का आकलन करने के लिए किया जाता है, और फिर इसका उपयोग भविष्य में उन चर के बीच संबंधों को मॉडलिंग करने के लिए किया जाएगा।
Y = a + bX + X
कहा पे:
- Y - आश्रित चर है
- एक्स - स्वतंत्र (व्याख्यात्मक) चर है
- a - इंटरसेप्ट है
- b - ढलान है
- The - और अवशिष्ट है (त्रुटि)
अवरोधन "ए" और ढलान "बी" के लिए सूत्र की गणना नीचे की जा सकती है।
a = (--y) ((x 2 ) - ((x) (Σxy) / n (--x 2 ) - ()x) 2 b = n ()xy) - ()x) (Σy) / n (Σx 2 ) - (Σx) २
स्पष्टीकरण
प्रतिगमन विश्लेषण, जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, का उपयोग डेटा को फिट करने वाले समीकरणों को खोजने के लिए किया जाता है। रेखीय विश्लेषण एक प्रकार का प्रतिगमन विश्लेषण है। एक पंक्ति के लिए समीकरण y = a + bX है। Y सूत्र में आश्रित चर है जो कि यह अनुमान लगाने की कोशिश कर रहा है कि यदि एक निश्चित मूल्य द्वारा X, एक स्वतंत्र चर, तो भविष्य का मूल्य क्या होगा। सूत्र में "a" इंटरसेप्ट है जो कि वह मान है जो स्वतंत्र चर में परिवर्तन के बावजूद स्थिर रहेगा और सूत्र में 'b' शब्द ढलान है जो दर्शाता है कि स्वतंत्र चर पर निर्भर चर कितना परिवर्तनशील है।
उदाहरण
उदाहरण 1
निम्नलिखित दो चर x और y पर विचार करें, आपको प्रतिगमन की गणना करने की आवश्यकता है।
उपाय:
उपरोक्त सूत्र का उपयोग करके, हम एक्सेल में रैखिक प्रतिगमन की गणना निम्नानुसार कर सकते हैं।
N = 5 के साथ उपरोक्त तालिका में हमारे सभी मूल्य हैं।
अब, पहले, प्रतिगमन के लिए अवरोधन और ढलान की गणना करें।
अवरोधन की गणना निम्नानुसार है,
a = (628.33 * 88,017.46) - (519.89 * 106,206.14) / 5 * 88,017.46 - (519.89) 2
a = 0.52 है
ढलान की गणना निम्नानुसार है,
b = (5 * 106,206.14) - (519.89 * 628.33) / (5 * 88,017.46) - (519,89) 2
बी = १.२०
चलो अब प्रतिगमन फॉर्मूला में मानों को प्रतिगमन प्राप्त करने के लिए इनपुट करते हैं।
इसलिए प्रतिगमन रेखा Y = 0.52 + 1.20 * X
उदाहरण # 2
भारतीय स्टेट बैंक ने हाल ही में बचत खाता ब्याज दर को रेपो दर से जोड़ने की एक नई नीति की स्थापना की, और भारतीय स्टेट बैंक के ऑडिटर ब्याज दरों में बदलाव के बारे में बैंक द्वारा लिए गए निर्णयों पर एक स्वतंत्र विश्लेषण करना चाहते हैं, चाहे वे परिवर्तन हुए हों जब भी रेपो रेट में बदलाव हुए हैं। निम्नलिखित रेपो दर और बैंक के बचत खाते की ब्याज दर का सारांश निम्नलिखित है जो उन महीनों में जारी हैं।
स्टेट बैंक के ऑडिटर ने आपसे एक विश्लेषण करने और अगली बैठक में उसी पर एक प्रस्तुति देने के लिए संपर्क किया है। प्रतिगमन सूत्र का उपयोग करें और निर्धारित करें कि क्या रेपो दर के रूप में बैंक की दर बदल गई है?
उपाय:
ऊपर चर्चा किए गए सूत्र का उपयोग करते हुए, हम एक्सेल में रैखिक प्रतिगमन की गणना कर सकते हैं। रेपो दर को एक स्वतंत्र चर के रूप में मानते हुए, एक्स, और बैंक की दर को आश्रित चर के रूप में वाई के रूप में मानते हैं।
उपरोक्त तालिका में n = 6 के साथ हमारे सभी मूल्य हैं।
अब, पहले, प्रतिगमन के लिए अवरोधन और ढलान की गणना करें।
अवरोधन की गणना निम्नानुसार है,
a = (24.17 * 237.69) - (37.75 * 152.06) / 6 * 237.69 - (37.75) 2
ए = 4.28
ढलान की गणना निम्नानुसार है,
b = (6 * 152.06) - (37.75 * 24.17) / 6 * 237.69 - (37.75) 2
बी = -0.04
आइए अब आकृति पर पहुंचने के लिए सूत्र में मानों को इनपुट करें।
इसलिए प्रतिगमन रेखा Y = 4.28 - 0.04 * X
विश्लेषण: ऐसा प्रतीत होता है कि भारतीय स्टेट बैंक वास्तव में अपनी बचत दर को रेपो दर से जोड़ने के नियम का पालन कर रहा है क्योंकि कुछ ढलान मूल्य है जो रेपो दर और बैंक की बचत खाता दर के बीच संबंध को दर्शाता है।
उदाहरण # 3
एबीसी प्रयोगशाला ऊंचाई और वजन पर अनुसंधान कर रही है और जानना चाहती है कि क्या कोई रिश्ता है जैसे कि ऊंचाई बढ़ती है, वजन भी बढ़ेगा। उन्होंने प्रत्येक श्रेणी के लिए 1000 लोगों का एक नमूना इकट्ठा किया है और उस समूह में औसत ऊंचाई के साथ आए हैं।
नीचे विवरण है कि वे एकत्र हुए हैं।
आपको प्रतिगमन की गणना करने और इस निष्कर्ष के साथ आने की आवश्यकता है कि ऐसा कोई संबंध मौजूद है।
उपाय:
ऊपर चर्चा किए गए सूत्र का उपयोग करते हुए, हम एक्सेल में रैखिक प्रतिगमन की गणना कर सकते हैं। ऊँचाई को एक स्वतंत्र चर यानी X के रूप में मानकर और भार को Y के रूप में आश्रित चर के रूप में माना जाता है।
उपरोक्त तालिका में n = 6 के साथ हमारे सभी मूल्य हैं
अब, पहले, प्रतिगमन के लिए अवरोधन और ढलान की गणना करें।
अवरोधन की गणना निम्नानुसार है,
a = (350 * 120,834) - (850 * 49,553) / 6 * 120,834 - (850) 2
a = 68.63
ढलान की गणना निम्नानुसार है,
b = (6 * 49,553) - (850 * 350) / 6 * 120,834 - (850) 2
b = -0.07
आइए अब आकृति पर पहुंचने के लिए सूत्र में मानों को इनपुट करें।
इसलिए प्रतिगमन रेखा Y = 68.63 - 0.07 * X
विश्लेषण: ऐसा प्रतीत होता है कि ऊंचाई और वजन के बीच एक महत्वपूर्ण बहुत कम संबंध है क्योंकि ढलान बहुत कम है।
रिग्रेशन और सूत्र का उपयोग
जब एक सहसंबंध गुणांक में यह दर्शाया जाता है कि डेटा भविष्य के परिणामों की भविष्यवाणी कर सकता है और इसके साथ ही, समान डेटासेट का एक बिखरा हुआ प्लॉट रैखिक या सीधी रेखा बनाता हुआ दिखाई देता है, तो कोई सबसे अच्छा फिट का उपयोग करके सरल रैखिक प्रतिगमन का उपयोग कर सकता है भविष्य कहनेवाला मूल्य या भविष्य कहनेवाला कार्य। प्रतिगमन विश्लेषण में वित्त के क्षेत्र में कई अनुप्रयोग होते हैं क्योंकि इसका उपयोग CAPM में किया जाता है जो कि पूंजी परिसंपत्ति मूल्य निर्धारण वित्त में एक विधि है। इसका उपयोग राजस्व और फर्म के खर्चों का पूर्वानुमान लगाने के लिए किया जा सकता है।
