केंद्रीय सीमा प्रमेय परिभाषा
केंद्रीय सीमा प्रमेय में कहा गया है कि किसी भी वितरण के साथ यादृच्छिक चर की आबादी के यादृच्छिक नमूने एक सामान्य संभावना वितरण होने की दिशा में पहुंचेंगे क्योंकि नमूना का आकार बढ़ता है और यह मान लेता है कि जनसंख्या में नमूने का आकार 30 से अधिक है, मतलब नमूने के लिए जो नमूने के लिए सभी टिप्पणियों का औसत आबादी के लिए औसत के बराबर बी होगा।
केंद्रीय सीमा प्रमेय सूत्र
हम पहले ही चर्चा कर चुके हैं कि जब नमूना आकार 30 से अधिक हो जाता है, तो वितरण एक सामान्य वितरण का आकार ले लेता है। एक चर के सामान्य वितरण को निर्धारित करने के लिए, इसके माध्य और इसके विचरण को जानना महत्वपूर्ण है। एक सामान्य वितरण के रूप में कहा जा सकता है
एक्स ~ एन (~, α)
कहा पे
- एन = टिप्पणियों का नहीं
- the = टिप्पणियों का मतलब
- α = मानक विचलन
अधिकांश मामलों में, अवलोकन इसके कच्चे रूप में ज्यादा प्रकट नहीं होते हैं। इसलिए यह तुलना करने में सक्षम होने के लिए टिप्पणियों को मानकीकृत करना महत्वपूर्ण है। यह z- स्कोर की मदद से किया जाता है। अवलोकन के लिए जेड-स्कोर की गणना करना आवश्यक है। Z- स्कोर की गणना करने का सूत्र है
Z = (X- µ) / α / .n
कहा पे
- प्रेक्षणों का Z = Z- स्कोर
- the = टिप्पणियों का मतलब
- α = मानक विचलन
- n = नमूना आकार
स्पष्टीकरण
केंद्रीय सीमा प्रमेय में कहा गया है कि किसी भी वितरण के साथ यादृच्छिक जनसंख्या चर के यादृच्छिक नमूने एक सामान्य संभावना वितरण होने की दिशा में पहुंचेंगे क्योंकि नमूना का आकार बढ़ता है। केंद्रीय सीमा प्रमेय मानती है कि चूंकि जनसंख्या में नमूने का आकार 30 से अधिक है, नमूने का मतलब, जो नमूना के लिए सभी टिप्पणियों का औसत, आबादी के लिए औसत के बराबर होगा। इसके अलावा, नमूना का मानक विचलन जब नमूना का आकार 30 से अधिक हो तो जनसंख्या के मानक विचलन के बराबर होगा। चूंकि नमूना पूरी आबादी से बेतरतीब ढंग से चुना गया है और नमूने का आकार 30 से अधिक है, तो यह परिकल्पना परीक्षण के लिए विश्वास अंतराल का निर्माण और परीक्षण करने में मदद करता है।
केंद्रीय सीमा प्रमेय सूत्र (एक्सेल टेम्प्लेट के साथ) के उदाहरण
उदाहरण 1
आइए एक उदाहरण की मदद से एक सामान्य वितरण की अवधारणा को समझते हैं। म्यूचुअल फंड से औसत रिटर्न 12% है, और म्यूचुअल फंड निवेश के लिए औसत रिटर्न से मानक विचलन 18% है। यदि हम मानते हैं कि रिटर्न का वितरण सामान्य रूप से वितरित किया गया है, तो आइए हम म्यूचुअल फंड के निवेश में वापसी के लिए वितरण की व्याख्या करें।
दिया हुआ,
- निवेश का औसत रिटर्न 12% होगा
- मानक विचलन 18% होगा
इसलिए, 95% विश्वास अंतराल के लिए रिटर्न का पता लगाने के लिए, हम समीकरण को हल करके इसे खोज सकते हैं
- ऊपरी सीमा = 12 + 1.96 (18) = 47%
- लोअर रेंज = 12 - 1.96 (18) = -23%
परिणाम बताता है कि 95% समय, म्यूचुअल फंड से वापसी 47% से -23% की सीमा में होगी। इस उदाहरण में, नमूना आकार, जो रिटर्न के 30 से अधिक अवलोकनों के यादृच्छिक नमूने की वापसी है, हमें म्यूचुअल फंड की जनसंख्या वापसी के लिए परिणाम प्रदान करेगा क्योंकि नमूना वितरण सामान्य रूप से वितरित किया जाएगा।
उदाहरण # 2
उसी उदाहरण के साथ आगे बढ़ते हुए, आइए हम यह निर्धारित करें कि 90% विश्वास अंतराल के लिए परिणाम क्या होगा
दिया हुआ,
- निवेश का औसत रिटर्न 12% होगा
- मानक विचलन 18% होगा
इसलिए, 90% विश्वास अंतराल के लिए रिटर्न का पता लगाने के लिए, हम समीकरण को हल करके इसे खोज सकते हैं
- ऊपरी सीमा = 12 + 1.65 (18) = 42%
- लोअर रेंज = 12 - 1.65 (18) = -18%
परिणाम दर्शाता है कि 90% समय, म्यूचुअल फंड से वापसी 42% से -18% की सीमा में होगी।
उदाहरण # 3
एक ही उदाहरण के साथ जारी रखते हुए, आइए हम यह निर्धारित करें कि 99% विश्वास अंतराल के लिए परिणाम क्या होगा
दिया हुआ,
- निवेश का औसत रिटर्न 12% होगा
- मानक विचलन 18% होगा
इसलिए, 90% विश्वास अंतराल के लिए रिटर्न का पता लगाने के लिए, हम समीकरण को हल करके इसे खोज सकते हैं
- ऊपरी सीमा = 12 + 2.58 (18) = 58%
- लोअर रेंज = 12 - 2.58 (18) = -34%
परिणाम दर्शाता है कि 99% समय, म्यूचुअल फंड से वापसी 58% से -34% की सीमा में होगी।
प्रासंगिकता और उपयोग
केंद्रीय सीमा प्रमेय अत्यंत लाभकारी है क्योंकि यह शोधकर्ता को नमूना की मदद से पूरी आबादी के माध्य और मानक विचलन की भविष्यवाणी करने की अनुमति देता है। चूंकि नमूना पूरी आबादी से यादृच्छिक रूप से चुना जाता है और नमूने का आकार 30 से अधिक होता है, तो जनसंख्या से लिया गया कोई भी यादृच्छिक नमूना आकार सामान्य रूप से वितरित होने की ओर बढ़ेगा, जो परिकल्पना परीक्षण और आत्मविश्वास अंतराल के निर्माण में मदद करेगा। परिकल्पना परीक्षण। केंद्रीय सीमा प्रमेय के आधार पर, शोधकर्ता पूरी आबादी से किसी भी यादृच्छिक नमूने का चयन करने में सक्षम है, और जब नमूने का आकार 30 से अधिक हो,फिर यह नमूने की मदद से जनसंख्या की भविष्यवाणी कर सकता है क्योंकि नमूना एक सामान्य वितरण का पालन करेगा और यह भी मतलब है और नमूना का मानक विचलन मतलब और जनसंख्या के मानक विचलन के समान होगा।
